Calculo III

Conteúdo

Etapa I: Integral Definida. Integral Indefinida. 3

Passo I – Leitura e interpretação 3

1.1 - 3

1.2 - 3

1.3 - 6

Passo II – Desafios 1 6

Desafio A 6

Desafio B 7

Desafio C 7

Desafio D 8

Passo III- Desafios 2 8

Para o desafio A: 8

Para o desafio B: 9

Para o desafio C: 10

Para o desafio D: 10

Passo IV – Relatórios 11

Raciocínio: 11

A seqüência numérica 11

Etapa II - Integração por Substituição. Integração por Partes. 11

Passo I 11

1. Leitura: 11

2. História das técnicas de integração utilizadas 11

Passo II 13

Considerando as igualdades: 13

Passo III 14

Cálculos: 14

Passo IV 16

Etapa I: Integral Definida. Integral Indefinida.

Passo I – Leitura e interpretação

1.1 - Leiam atentamente o capítulo do livro-texto que descreve os conceitos de integrais indefinidas, definidas e cálculo de áreas. Pesquisem também em: livros didáticos, na Internet e em outras fontes de livre escolha, informações ligadas ao estudo e utilização da teoria de integrais indefinidas, definidas e cálculo de áreas.

1.2 - Façam um levantamento sobre a história do surgimento das integrais e elaborem um texto dissertativo, contendo as principais informações encontradas com a pesquisa realizada no passo 1. Essa pesquisa será imprescindível para a compreensão e realização dos próximos passos.

História do surgimento das integrais

A idéia básica do conceito de integral já estava embutido no método da exaustão atribuídoa Eudoxo (406-355 a.C), desenvolvido e aperfeiçoado por Arquimedes (287-212ª.C.), grande matematico da escola de Alexandria. Pode-se obter a área de uma figura plana irregular ou obter o volume de um solido com o formato de um barril.

O método da exaustão consiste em "exaurir" a figura dada por meio de outras de áreas e volumes conhecidos. O caso mais conhecido é o famoso problema da quadratura do círculo, isto é, o problema de obter um quadrado com a mesma área de um círculo de raio r dado. Uma primeira aproximação para a área do círculo é dada pela área do quadrado inscrito no círculo. Com o acréscimo de quatro triângulos isósceles convenientes, obtemos o octógono regular inscrito no círculo, cuja área fornece uma aproximação melhor à área do círculo.

Continuando com o processo de acrescentar novos triângulos, tomamos um polígono regular de 16 lados. Do ponto de vista geométrico, é possível observar que já se tem a impressão de termos exaurido o círculo, embora saibamos que existem algumas áreas que não foram cobertas.

Continuamos a exaurir o círculo para obter aproximações cada vez melhores para a área do círculo, através de polígonos regulares inscritos de 2n lados.

Usando um procedimento similar a este, com polígonos inscritos e circunscritos, Arquimedes calculou a área do círculo de raio unitário mostrando que a área A (=Pi) está compreendida entre:

3 +10/71 = 3,140845 < A < 3 + 1/7 = 3,142857

O inconveniente do método de exaustão de Arquimedes é que para cada novo problema havia a necessidade de um tipo particular de aproximação. Por exemplo, para obter a área de uma região localizada sob um segmento de parábola ACB.

Arquimedes usou como primeira aproximação o triângulo ABC, em que C foi tomado de modo que a reta tangente à parábola que passa pelo ponto C seja paralela à reta AB.

De modo semelhante são escolhidos os pontos D e E e construídos os triângulos ACD e BCE.

Na seqüência foram construídos mais triângulos com as mesmas propriedades que os outros obtidos nos passos anteriores.

Observamos que tais triângulos estão exaurindo a área da região parabólica.

O Cálculo Diferencial e Integral foi criado por Isaac Newton (1642-1727) e Wilhelm Leibniz (1646-1716). O trabalho destes cientistas foi uma sistematização de idéias e métodos surgidos principalmente ao longo dos séculos XVI e XVII, os primórdios da chamada era da Ciência Moderna, que teve início com a Teoria heliocêntrica de Copérnico (1473-1543).

O que permitiu a passagem do método de exaustão para o conceito de integral foi a percepção que em certos casos, a área da região pode ser calculada sempre com o mesmo tipo de aproximação por retângulos.

Esta foi uma descoberta conceitual importante, mas em termos práticos, a descoberta fundamental foi a possibilidade de exprimir a integral de uma função em termos de uma primitiva da função dada e este fato é conhecido pelo nome de Teorema Fundamental do Cálculo.

Estas idéias serão aqui expostas mas observamos que o conceito de integral pode ser introduzido de várias formas, todas elas tendo em comum a mesma idéia geométrica, mas que se diferenciam pelo rigor matemático utilizado. Neste caso ocorre um problema usual em Matemática: quanto menos rigorosa ou formal é a conceituação de um objeto matemático, mais simples é a sua compreensão, porém é mais inadequada ou de conhecimento inatingível para um ser humano comum, em função das propriedades que decorrem do processo conceitual utilizado.

A idéia ou o conceito de integral foi formulado por Newton e Leibniz no século XVII, mas a primeira tentativa de uma conceituação precisa foi feita por volta de 1820, pelo matemático francês Augustin Louis Cauchy (1789-1857). Os estudos de