Constante De Mola

Relatório 3: Sistema massa-mola

Relatório elaborado pelos alunos Danilo Rodrigues Vieira e Luís Fabiano Baldasso em 2006 como parte da disciplina FEP 0111 – Física I, ministrada no Instituto de Física da Universidade de São Paulo.

1. Introdução

Este relatório apresenta a descrição de um experimento sobre o Sistema Massa-Mola realizado por dois alunos da disciplina FEP0111 - Física 1 no dia 11 de outubro de 2006, sob supervisão do professor Gustavo do Instituto de Física da Universidade de São Paulo.

2. Objetivo

O experimento teve como objetivo determinar a constante elástica de uma mola (constante de Hooke) estaticamente e dinamicamente utilizando instrumentos e montagem simples.

3. Introdução Teórica

Antes de mais nada vamos introduzir fatos históricos e definições para que a compreensão do experimento fique clara.

Quando escrevemos que iremos determinar a constante de Hooke de uma mola cometemos um erro, na realidade determinaremos a constante de Young característica de cada mola.

…Robert Hooke (1635–1703) descobriu em 1676 a lei fundamental que existe entre a força e a distorção resultante num corpo elástico. Ele resumiu os resultados de suas experiências na forma de uma lei. “Ut tensio sic vis”, a qual, traduzida livremente, significa que “uma mudança de forma é proporcional à força deformadora”.

Muitos anos depois, Thomas Young (1733–1829) deu á lei de Hooke uma formulação mais precisa, ao introduzir conceitos físicos definidos a serem associados com “uma mudança de forma” e “força deformadora”.

Quando uma tensão (forças resultante na deformação de um sólido) é provocada no interior de um sólido pela aplicação de forças externas, uma variação física é produzida.

Estas distorções relativas são chamadas deformações e podem ser de três tipos:

1. Mudança no tamanho do corpo, mantendo a mesma forma.

2. Mudança na forma mantendo o mesmo volume.

3. Mudança de comprimento.

A lei de Hooke pode agora ser enunciada da seguinte forma:

Tensão/ deformação = constante = Módulo de elasticidade

nome este introduzido por Thomas Young.

A constante é chamada de módulo volumétrico (K) se a tensão corresponde a 1; Módulo de rigidez ou cisalhamento (n) se a tensão é do tipo 2; e Módulo de Young (Y) se a tensão é de distensão ou compressão que corresponde a 3. (Ference,M. - Curso de Física: Mecânica, 1968, p236–237)

Consideremos agora o estiramento de um fio por uma força F. A tensão corresponde a Força/unidade de área da secção reta. A deformação do tamanho original (l0) pode ser escrito como:

(3.1)

O módulo de Young (Y) é definido como: Y = tensão / deformação longitudinal ou

(3.2)

Ou seja, a variação entre força e deformação é linear.

…A melhor aproximação do caso de elasticidade perfeita na qual a lei de Hooke vale para limites muito amplos de tensões é obtida quando um fio, de aço ou bronze fosforoso é enrolado na forma de uma hélice, fazendo uma espiral ou uma mola helicoidal. (Ference, M. - Curso de Física: Mecânica, 1968, p246).

Desta forma podemos estabelecer a constante de Young estaticamente através da primeira parte deste experimento.

Outra maneira de estabelecer a constante de Young, só que desta vez dinamicamente, é utilizando o principio da conservação de energia em um oscilador harmônico simples.

Um oscilador harmônico simples consiste de uma massa M ligada a uma mola sem massa de constante elástica Y.

…Provocando um desequilíbrio neste sistema em equilíbrio, obtemos a oscilação harmônica amortecida do sistema devido a presença de atrito com o ar (Kittel.C., Curso de Física de Berkeley: Mecânica - vol. 1, p201).

Porém em pequenas oscilações e variando os pesos obtemos um período que não varia e revela a constante de Young (Y).

…O desvio do ponto de equilíbrio vezes a constante de Young (Y) é igual a força restauradora do movimento. Isto identifica, em termos do sistema, uma idéia particularmente simples, a dois conceitos essenciais para o estabelecimento do movimento oscilatório:

1. Um componente inercial, capaz de carregar energia cinética.

2. Uma componente elástica, capaz de armazenar energia potencial.

(French. A. P., The M.I.T. introductory physics series: Vibrations and Waves, 1970, p42)

Desenvolvendo esta relação, chegamos à conclusão de que o período varia da seguinte forma em relação à força e a constante de Young(Y)

(3.3)

Em que: T = período, M = massa pendurada, Y = constante Young.

Desta maneira ficam resumidamente introduzidos os conceitos que fundamentam este experimento.

4. Descrição Experimental

4.1 Determinação da constante elástica estaticamente

Material utilizado:

• 1 haste de apoio

• 1 balança que registra décimos de grama

• 1 régua dividida em milímetros

• 10 pesos distintos

• 1 suporte para pesos

• 1 mola de aço

Procedimento:

Montou-se o equipamento de forma que a régua e a mola estivessem uma ao lado da outra e ambas fixas à haste, conforme ilustra a Figura 4.1.1. Havia também um pequeno suporte para os pesos fixo à extremidade inferior da mola (como ilustra a Figura 4.1.2).

Figura 4.1.1: Montagem do experimento. 1: Mola; 2: Régua; 3: Haste de apoio.

Após a montagem, um peso foi posicionado sobre o suporte de forma a deformar a mola. A deformação foi medida utilizando-se a régua (calculando-se a diferença entre a altura na qual se encontrava o suporte inicialmente e a altura na qual o suporte estava após a adição do peso) e então anotada. Repetiu-se isto para os demais pesos e os valores obtidos foram então dispostos num gráfico (Figura 5.1) e a partir deste gráfico calculou-se a constante elástica da mola, como está detalhado na seção 5.1.

Figura 4.1.2: Detalhe do experimento.

4.2 Determinação da constante elástica dinamicamente

Material utilizado:

• 1 haste de apoio

• 1 balança que registra décimos de grama

• 1 régua dividida em milímetros

• 5 pesos distintos

• 1 cronômetro

• 1 suporte para pesos

• 1 mola de aço

Procedimento:

Montou-se o equipamento de forma que a régua e a mola estivessem uma ao lado da outra e ambas fixas à haste, conforme ilustra a Figura 4.1.1. Havia também um pequeno suporte para os pesos fixo à extremidade inferior da mola.

Após a montagem, um peso foi colocado sobre o suporte. Então, o suporte era puxado para baixo e solto, para que este oscilasse verticalmente. Aproximadamente no mesmo instante em que o suporte era solto, o cronômetro era ativado. Contava-se 10 oscilações e então o cronômetro era desativado e o intervalo de tempo exibido no cronômetro era anotado como sendo o período de 10 oscilações correspondente ao peso colocado. Repetiu-se isto para os demais pesos e então os valores obtidos foram dispostos em um gráfico (Figura 5.2) e, a partir de uma análise gráfica, seria obtido o valor da constante elástica da mola (a apresentação dos cálculos encontra-se na seção 5.2).

5. Resultados

Método Estático

Foi determinada primeiramente a constante elástica de maneira estática, conforme a seção anterior. Para garantir confiabilidade nos resultados fizemos dez medidas com pesos diferentes. Um operador substituía os pesos enquanto o outro operador observava o alongamento da mola e anotava-o.

Tabela 5.1: Dados obtidos na determinação da constante estaticamente, a força peso foi obtida multiplicando-se a massa pelo valor da aceleração gravitacional local (9,7864 m/s2).

Massa (10−3kg)

(± 0,1 × 10−3kg) Força peso (N)

(± 0,1 × 10−2N) Deslocamento (10−2)

(± 0,05 × 10−2m)

20,0 0,196 5,80

25,9 0,253 7,10

26,2 0,256 7,20

32,0 0,313 8,10

36,0 0,352 8,80

43,3 0,424 10,00

49,2 0,481 11,10

55,4 0,542 12,10

57,0 0,558 12,30

70,1 0,686 14,70

Figura 5.1: Correlação entre Força e Deslocamento (deformação da mola)

Software MINITAB INC (2000). MINITAB Statistical Software release 14

Pela análise do gráfico, vimos que para um incremento de 1N na força peso, haverá um incremento no comprimento da mola correspondente a 0,1768m. Substituindo-se estes valores na equação F = k × x, obtemos:

Em que k é a constante elástica da mola que se desejava obter. A incerteza de ±0,02 é dada pela regra simplificada para cálculos de incertezas e algarismos significativos a seguir:

Método Dinâmico

Em seguida foi determinado a constante elástica pelo método dinâmico do oscilador harmônico simples. Enquanto um operador provocava o movimento no sistema o outro cronometrava o tempo. O operador que provocava o distúrbio no sistema informava o tempo de inicio e fim da cronometragem. O tempo cronometrado correspondia a dez oscilações completas do sistema (os valores na Tabela 5.2 já correspondem ao período de uma única oscilação), tendo como ponto de partida o ponto de repouso entre a mola e o peso. Utilizaram-se cinco pesos diferentes para esta experiência, e a cada peso repetimos três vezes as contagens, partindo sempre do repouso.

Tabela 5.2: Dados obtidos na determinação da constante dinamicamente, a força peso foi obtida multiplicando-se a massa pelo valor da aceleração gravitacional local (9,7864 m/s2).

Massa (10−3kg)

(± 0,1 × 10−3kg) Força peso (N)

(± 0,1 × 10−2N) Período (s)

(± 0,01 s)

121,7 1,191 0,863

0,922

0,960

130,0 1,272 0,903

0,925

0,944

135,9 1,330 0,925

0,953

0,956

136,3 1,334 0,941

0,950

0,972

141,7 1,387 0,963

0,990

1,019

Utilizando-se um software apropriado, no caso o Mathematica 5.0, pode-se usar estes dados para obter a constante elástica da mola, como demonstram os comandos abaixo:

Em que 9,7864 é o valor da gravidade local; p e k são as variáveis que representam, respectivamente, o peso e a constante elástica da mola e o segundo parâmetro da função FindFit[] é uma adaptação da Eq. 3.3.

Dispondo-se os dados obtidos sobre o gráfico da função (em que T é o período de uma oscilação; P é o peso colocado na ponta da mola; g é a gravidade local e k é a constante elástica da mola) obtemos o seguinte:

Figura 5.2: Relação entre peso na ponta da mola e período da oscilação (a curva azul representa a função citada)

Software Wolfram Research, INC (2003). MATHEMATICA 5.0

Discussão

A formulação dos métodos foi a principal fonte de erros significativos, pois o sistema simples possibilita as maiores fontes de erro. Na determinação pelo processo estático, ficávamos sujeito aos erros pessoais e de paralaxe e desvios, que poderiam ser minimizados se dispuséssemos de um ponteiro fino fixado sobre o suporte dos pesos paralelo a superfície de base do suporte que atingisse a régua. Na determinação pelo processo dinâmico, a fonte de erro foi ainda maior, pois a impossibilidade de observar e começar e parar a contagem de tempo nos exatos instantes pode ter sido a principal fonte de erro. Poderíamos eliminar esta fonte de erro de modo bem simples: acoplando uma caneta ao suporte de peso (pode ser aproveitado o sistema de ponteiro sugerido) que marcaria (riscaria) um papel milimetrado (apoiado em uma base fixa) com deslocamento contínuo e conhecido, no qual ficariam registradas as oscilações. Depois a interpretação gráfica seria mais fácil.

Na Figura 5.1, Nota-se que os valores encontram-se adequados à reta de regressão (teoria).

Na Figura 5.2, Observa-se que os dados estão bastante dispersos e fora do esperado, o motivo já foi discutido no item 1 desta seção (erros pessoais e de método). Cabe, para este gráfico, uma outra discussão: o gráfico da função (linha azul) apresenta-se praticamente como uma reta, quando na verdade espera-se um crescimento logarítmico. Porém, observando-se a escala, percebe-se que o gráfico está correto, a Figura 6.1 trás outra escala para comparação.

Figura 6.1: idem à Figura 5.2, porém em escala diferente.

Conclusão

Concluímos que a constante elástica da mola, como determinado estaticamente, é (5,66±0,02)N/m. A determinação pelo método dinâmico fornece uma constante elástica igual a 5,87N/m.

Como esperado, os valores são diferentes, há uma diferença de 4% entre eles, diferença que é satisfatória considerando-se a montagem e execução do experimento.

Referências bibliográficas

FERENCE. M. JR., (Goldemberg, J.) et al, Curso de Física de Berkeley Volume 1 Mecânica, ed. MEC, 1973.

FERENCE, M. JR., (Gondemberg, J.) et al, Curso de Física: Mecânica, ed. Edgard Blücher Ltda.,1968.

FRENCH, A. P., The M.I.T. introductory physics series: Vibrations and Waves, ed. Norton & Company Inc, 1970.

HALLIDAY, D., (Azevedo, J.P.S.) et al., Fundamentos de Física Vol. 1: Mecânica. LTC-Livros Técnicos Científicos S/A. 6o ed, 2001.

Software MINITAB INC (2000). MINITAB Statistical Software release 14.0.

Software Wolfram Research, INC (2003). MATHEMATICA 5.0