Convergência uniforme

Convergência uniforme

A convergência uniforme é um conceito mais forte que o de convergêcia pontual.

[editar]Definição

Uma seqüência de funções definida em um conjunto é dita convergir uniformemente se existe uma função tal que:

Para todo , existe um tal que:

Observe que a desigualdade é válida para todo ponto do domínio.

[editar]Comparação entre convergência uniforme e convergência pontual

Como comparação, uma sequência de funções converge pontualmente para uma função se, e somente se:

A sequência converge uniformemente quando:

Essa diferença é importante: para provar a convergência pontual, basta escolher um N para cada e cada x. Para provar a convergência uniforme, é preciso escolher, para cada um N que se aplica a todo x.

[editar]Exemplos

[editar]Exemplo 1

Considere a seqüência:

A convergência uniforme é válida com .

[editar]Exemplo em que a convergência uniforme falha na presença de convergência pontual

Considere o conjunto e a seguinte seqüência de funções definidas em :

Observa-se que para cada fixo converge para 0 mas a convergência não é uniforme pois para cada n e cada existe um x suficiente próximo à origem tal que:

Convergência uniforme preserva continuidade

Teorema Seja uma seqüência de funções contínuas definidas um conjunto . Suponha que converge uniformemente para uma função então f é uma função contínua.

Demonstração Seja e , devemos mostrar que existe um tal que:

Da convergência uniforme, temos a existência de um N tal que

Da continuidade de , temos que existe um tal que:

Agora, basta estimar usando a desigualdade triangular:

E das desigualdades e , vale que se :