Coordenadas cartesianas

Nesta seção apresentamos o cálculo da área de uma região limitada. Fazemos estes cálculos em três formas diferentes: primeiro em coordenadas cartesianas; segundo em equações representadas parametricamente; finalmente, utilizando as coordenadas polares. Também utilizamos a integração dupla e tripla para fazer o cálculo de área de uma região plana.

5.3.1 Coordenadas cartesianas

Seja y = f(x) uma função limitada pelas retas x = a, x = b e o eixo x, onde f é contínua em [a,b].

Neste, caso a área é dada por

A fórmula para o cálculo de área no Mathemática é dada por "Integrate[f[x],{x,a,b}]", isto é,

= Integrate[f[x],{x,a,b}].

Se o valor obtido for negativo utilize o comando "Abs" para calcular o valor absoluto.

A seguir damos exemplos de cálculo de área de regiões limitadas por curvas dadas em coordenadas cartesianas.

Exemplo 5.4

a) Encontrar a área limitada pela curva y = x2 - 9 e o eixo x;

b) Encontrar a área da região limitada pela curva y = cos x e pelo eixo x de 0 até p .

Resolução

Para resolver estes exemplos, inicialmente traçamos os gráficos das curvas utilizando o comando "FilledPlot", o que representa a área solicitada. Para aplicar este comando necessitamos do pacote "FilledPlot", utilizando o seguinte comando:

In[ ]:= Needs["Graphics`FilledPlot`"]

Depois aplicaremos a fórmula de cálculo da área dada acima, com as passos necessários. Também utilizamos o comando "Solve" para achar os pontos de interseção das curvas com o eixo x.

a) In[ ]:= Solve[x^2- 9,x]

Out[ ]= {{x -> 3}, {x -> - 3}}

Observemos que a curva dada intercepta o eixo x nos pontos -3 e 3. A seguir damos o gráfico da área desejada com o seguinte comando:

In[ ]:= FilledPlot[x^2- 9,{x,- 3,3}]

Out[ ]= -Graphics-

In[ ]:= Integrate[x^2- 9,{x,- 3,3}]

Out[ ]= - 36

In[ ]:= Abs[%]

Out[ ]= 36

Logo, concluímos que a área procurada é 36 u.a..

b) In[ ]:= FilledPlot[Cos[x],{x,0,Pi}]

Out[ ]= -Graphics-

Pela simetria da figura, calculamos a área de 0 até p /2 e depois duplicamos o resultado. Veja os comandos a seguir:

In[ ]:= Integrate[Cos[x],{x,0,Pi/2}]

Out[ ]= 1

In[ ]:= Integrate[Cos[x],{x,Pi/2,Pi}]

Out[ ]= -1

In[ ]:= 2 Abs[%]