Cálculo Das Probabilidades II

1.2 PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIA 7

1.2 Probabilidade Condicional e Independência

Exemplo 1.1. e : Lançamento de um dado não-viciado

)W = f1;2;3;4;5;6g.

Seja o evento A: resultado 6 )A = f6g. Como o espaço amostral é finito, com elementos

equiprováveis, então:

P(A) =

nA

n

=

1

6

:

Seja, agora, o evento B: resultado par )B = f2;4;6g. A probabilidade de que o resultado seja

6, uma vez que se saiba que o resultado é par, é 1

6.

Definição 1.6. A probabilidade condicional de um evento A, dado um evento B, é:

P(A j B) =

P(A\B)

P(B) ; se P(B) > 0: (1.1)

No exemplo anterior, tem-se:

P(A j B) =

nA\B

n

nB

n

=

nA\B

nB

=

1

6

;

pois (A\B) = f6g.

1.2.1 Regra da Multiplicação

De (1.1) tem-se, diretamente, que:

P(A\B) = P(B)P(A j B) = P(A)P(B j A) (1.2)

1.2.2 Regra da Probabilidade Total

Definição 1.7. Uma coleção de eventos A1;A2; ¢¢¢ ;An forma uma partição do espaço amostral

W se os eventos Ai‘s são disjuntos (Ai \Aj = /0; i 6= j) e exaustivos (Sn

i=1 Ai = W).

1.2 PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIA 8

Sejam A1;A2; ¢¢¢ ;An eventos formando uma partição do espaço amostral W e B um evento

qualquer em W. Então:

P(B) = P[fB\A1g[fB\A2g[¢¢¢fB\Ang]

disj.

= P(B\A1)+P(B\A2)+¢¢¢P(B\An)

(1:2) = P(B j A1)P(A1)+¢¢¢+P(B j An)P(An) (1.3)

1.2.3 Teorema de Bayes

Sejam A1;A2; ¢¢¢ ;An eventos formando uma partição do espaço amostral W, B um evento

qualquer em W e suponha conhecidas P(B j Ai) e P(Ai); i = 1;2; ¢¢¢n. Então:

P(Aj j B) (1:1) =

P(Aj \B)

P(B)

(1:2) =

P(B j Aj)P(Aj)

P(B)

(1:3) =

P(B j Aj)P(Aj)

P(B j A1)P(A1)+¢¢¢+P(B j An)P(An)

(1.4)

Exercício: Um certo item é produzido exclusivamente em uma das unidades de uma fábrica:

I, II ou III. Sabe-se que o volume de produção da unidade I é o dobro da unidade II e que II

e III têm volumes iguais de produção. Ainda, são defeituosos: 2% dos produtos fabricados na

unidade I, 2% dos fabricados na unidade II e 4% dos fabricados na unidade III. Se todos os

itens são armazenados em um depósito comum e seleciona-se um item ao acaso:

(a) qual é a probabilidade de que seja defeituoso?

(b) qual é a probabilidade de que tenha sido produzido na fábrica I, se é defeituoso?

(c) qual é a probabilidade de que tenha sido produzido na fábrica I, se não é defeituoso?

1.2.4 Independência

Definição 1.8. Dois eventos A e B são ditos independentes se

P(A\B) = P(A) ¢P(B): (1.5)

1.2 PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIA 9

Observe-se que se A e B são independentes, então, de (1:1) tem-se que:

P(A j B) =

P(A\B)

P(B)

(1:5) =

P(A) ¢P(B)

P(B)

= P(A)

P(B j A) =

P(A\B)

P(A)

(1:5) =

P(A) ¢P(B)

P(A)

= P(B) (1.6)

Exemplo 1.2. e: Lançamento simultâneo de um dado e uma moeda, ambos não-viciados.

)W = f(CA;1)(CA;2)(CA;3)(CA;4)(CA;5)(CA;6)(CO;1)(CO;2)(CO;3)(CO;4)(CO;5)

(CO;6)g.

Sejam os eventos:

A : f(6;CA); (6;CO)g: resultado 6

B : f(2;CA); (2;CO); (4;CA); (4;CO); (6;CA); (6;CO)g: resultado par

C : f(CO;1); (CO;2); (CO;3); (CO;4); (CO;5); (CO;6)g: resultado coroa.

Como o espaço amostral é finito e com elementos equiprováveis, tem-se:

P(A) =

nA

n

=

2

12

=

1

6

P(A