Decomposição De Matrizes

Para encontrar a decomposicao LU de uma matriz basta fazer a eliminacao

de Guass guardando os multiplicadores de cada linha.

Vamos guardar esses multiplicadores nas posicao que eles zeraram.

Por exemplo, na primeira iteracao queremos

zerar a primeira coluna da segunda linha, entao multiplicamos a primeira linha por 1 e

subtraımos ela da segunda, de onde obtemos:

A =

2 1 3 0

2 2 5 1

2 1 4 0

1 1 3.5 2.5

~

2 1 3 0

*0 1 2 1

2 1 4 0

1 1 3.5 2.5

Sabemos que a posicao(L,C) assinalada com * vai ser sempre zero, entao podemos guardar 1

nessa posicao para lembrarmos por qual valor multiplicamos a primeira linha.

Procedendo da mesma maneira, sempre usando a primeira linha para zerar e guardando o

multiplicador obtemos:

2 1 3 0

2 2 5 1

2 1 4 0

1 1 3.5 2.5

~

2 1 3 0

1 1 2 1

1 0 1 0

0.5 0.5 2 2.5

(0.1)

Agora vamos usar a segunda linha para zerar a segunda colunas das linhas 3 e 4:

2 1 3 0

2 2 5 1

2 1 4 0

1 1 3.5 2.5

~

2 1 3 0

1 1 2 1

1 0 1 0

0.5 0.5 1 2

(0.2)

Agora a zeramos a terceira coluna da quarta linha usando a terceira linha:

2 1 3 0

2 2 5 1

2 1 4 0

1 1 3.5 2.5

~

2 1 3 0

1 1 2 1

1 0 1 0

0.5 0.5 1 2

(0.3)

Pronto, agora para encontrar a decomposic¸ao LU basta usar os valores encontrados:

A = LU =

( L )

1