Derivadas

Exercícios Complementares de Cálculo Diferencial e Integral I

Assunto: Derivadas

Q1. Calcule as derivadas das funções abaixo:

a) f(x)=〖5x〗^3→f'(x)=5.3.x^(3-1)→f'(x)=15x^2

b) f(x)=2√x→f(x)=2x^(1/2)→f'(x)=2.1/2.x^(1/2-1)→f'(x)=x^((-1)/2)→f'(x)=1/√x

c) f(x)=5/x^4 →f(x)=〖5x〗^(-4)→f'(x)=5.(-4)x^(-4-1)→f'(x)=-〖20x〗^(-5)→

→f'(x)=(-20)/x^5

d) f(x)=3/∛x→f(x)=3/x^(1/3) →f(x)=〖3x〗^((-1)/3)→f'(x)=3.((-1)/3).x^((-1)/3-1)→f'(x)=-x^((-4)/3)

→f'(x)=(-1)/∛(x^4 )→f'(x)=(-1)/∛(x^3.x)→f'(x)=(-1)/(x∛x)

e) f(x)=〖7x〗^2+1→f'(x)=7.2.x^(2-1)+0→f'(x)=14x

f)f(x)=〖2x〗^3/9+〖3x〗^2/4-x/3+2/5→f'(x)=(2.3.x^(3-1))/9+(3.2.x^(2-1))/4-(1.x^(1-1))/3+0→

→f'(x)=〖2x〗^2/3+3x/2-1/3

g) f(x)=x^4-〖3x〗^3+7→f'(x)=〖4x〗^(4-1)-3.3.x^(3-1)+0→f'(x)=〖4x〗^3-〖9x〗^2

h) f(x)=2/x^3 +x^2→f(x)=〖2x〗^(-3)+x^2→f'(x)=2.(-3).x^(-3-1)+2.x^(2-1)→

→f'(x)=-〖6x〗^(-4)+2x→f'(x)=(-6)/x^4 +2x

Q2. Encontre, em cada caso, uma equação da reta tangente ao gráfico da função f(x), no pontox_0especificado:

Resolução: m = inclinação da reta tangente =f'(x_0)

forma ponto (x_0,f(x_0)) - inclinação (f'(x_0)) da equação de uma reta:

y-f(x_0)=f'(x_0).(x-x_0)

a) f(x)=1/x, x_0=1

* para x_0=1, f(x_0)=1/x_0 →f(1)=1/1→f(1)=1

Ponto (1 , 1)

* f(x)=x^(-1)→f'(x)=-x^(-2)→f'(x)=(-1)/x^2 →f'(1)=(-1)/1^2 →f'(1)=-1

* Equação da reta tangente:

y-f(x_0)=f'(x_0).(x-x_0)→y-1=-1(x-1)→y-1=-x+1→x+y-2=0

b) f(x)=√x, x_0=4

* para x_0=4, f(x_0)=√(x_0 )→f(4)=√4→f(4)=2

Ponto (4 , 2)

* f(x)=x^(1/2)→f'(x)=1/2.x^((-1)/2)→f'(x)=1/(2√x)→f'(4)=1/(2√4)→f'(4)=1/4

* Equação da reta tangente:

y-f(x_0)=f'(x_0).(x-x_0)→y-2=1/4.(x-4)→y-2=x/4-1→4y-8=x-4→ →-x+4y-4=0

c) f(x)=∛(x^2 ), x_0=2√2

* para x_0=2√2, f(2√2)=∛(〖(2√2)〗^2 )→f(2√2)=∛8→f(2√2)=2

Ponto (2√2,2 )

* f(x)=x^(2/3)→f'(x)=2/3.x^(2/3-1)→f'(x)=2/3.x^((-1)/3)→f'(x)=2/(3∛x)→

→f'(2√2)=2/(3∛(2√2) )→f'(2√2)=2/(3∛(√4.2) )→f'(2√2)=2/(3√(6&2^3 ))→f'(2√2)=2/(3√2)→

→f'(2√2)=2/(3√2).√2/√2→f'(2√2)=(2√2)/3.2→f'(2√2)=√2/3

* Equação da reta tangente:

y-f(x_0)=f'(x_0).(x-x_0)→y-2=√2/3.(x-2√2)→y-2=(√2.x)/3-4/3→

→3y-6=√2 x-4 →-√2 x+3y-2=0

Q3. Descubra o ponto pertencente ao gráfico da funçãoy=-x^2+5xtal que a reta tangente à curva, que passa por ele, forma, com o eixo das abscissas, um ângulo de 45°.

Resolução:

Coeficiente angular de uma reta: m = tg α

* inclinação da reta tangente: m = tg 45° = 1

*y=-x^2+5x

m=y'=-2x+5→-2x+5=1→2x=4→x=2

para x=2, y=-2^2+5.2→y=-4+10→y=6

Resposta: Ponto (2 , 6).

Q4. Determine a equação da reta tangente ao gráfico da funçãof(x)=x^2-4x+1, sabendo que ela é perpendicular à reta de equação2y+x-5=0.

Resolução:

Coeficiente angular da reta2y+x-5=0:

2y=-x+5→y=(-x)/2+5/2. Logo, m=(-1)/2.

* Se a reta tangente ao gráfico da função é perpendicular à reta 2y+x-5=0, então o produto dos coeficientes angulares das retas é igual a -1.

Logo, o coeficiente angular da reta tangente será:

m_T.m=-1→m_T.(-1)/2=-1→m_T=2

*f(x)=x^2-4x+1

m_T=f'(x)=2x-4→2x-4=2→2x=6→x=3

parax=3,f(3)=3^2-4.3+1→f(3)=-2

Ponto