Distribuição Normal

1.INTRODUÇÃO

A distribuição Normal é a mais familiar das distribuições contínuas de probabilidade e também uma das mais importantes em estatística, já que muitos fenômenos aleatórios comportam-se de forma próxima a essa distribuição, por exemplo: a altura, pressão sanguínea e o peso.

A distribuição normal também é conhecida como distribuição gaussiana ou curva do sino, devido ao seu formato. Sua importância se deve ao TEOREMA CENTRAL DO LIMITE.

1.2. TEOREMA CENTRAL DO LIMITE

Definição: Qualquer que seja a forma da distribuição original de variáveis contínuas, suas médias resultam em uma distribuição normal.

Em outras palavras temos que, o Teorema Central do Limite é um resultado que nos diz que as somas e as médias das variáveis independentes são aproximadamente Normais, não importando qual a densidade das variáveis contínuas que estão sendo somadas.

1.2.1 Propriedades

• Uma variável aleatória contínua pode ter uma distribuição qualquer (normal, uniforme,...), possuindo uma média μ e um desvio-padrão σ.

• Quando maior o tamanho das amostras, a distribuição das médias será mais próxima de uma distribuição normal.

• Se a distribuição da variável ‘x’ for originalmente uma distribuição normal, então a distribuição das médias amostrais terá distribuição normal para qualquer tamanho amostral n.

Exemplo: Observe os diagramas abaixo. Ele simula os resultados de um experimento no qual foi utilizado um computador para gerar 2000 observações de duas distribuições bem diferentes (linha superior). Logo, foram gerados uma amostra de tamanho 2 de cada distribuição e foram calculados a média. Este procedimento foi repetido 1999 vezes e a segunda linha mostra os histogramas das médias resultantes das amostras de tamanho 2. Isto foi repetido com média amostrais onde as amostras são de tamanhos 5 (terceira linha) e 10 (quarta linha). Note que:

*a forma da distribuição muda à medida que o tamanho da amostra aumenta;

* as duas distribuições usadas como exemplo, tornam-se mais similares nas suas formas à medida que o tamanho das amostras aumenta.

*cada distribuição parece mais e mais com uma distribuição Normal à medida que o tamanho das amostras aumenta, logo não é necessária uma amostra de tamanho muito grande para ver uma forma Normal.

1. DISTRIBUIÇÃO NORMAL

Uma razão para a distribuição Normal ser considerada tão importante é porque qualquer que seja a distribuição da variável contínua de interesse para grandes amostras, a distribuição das médias amostrais serão aproximadamente normalmente distribuídas, e tenderão a uma distribuição normal à medida que o tamanho de amostra crescer. Logo, a aproximação para a normal melhora, à medida que o tamanho amostral cresce. Este resultado é conhecido como o Teorema Central do Limite, abordado na seção 1.2.

A variável aleatória X tem distribuição normal com parâmetros  e ² se sua função densidade de probabilidade é dada por:

Usamos a notação

2.1.Propriedades da função:

• = é o valor esperado (média) de X(-<<): E(X) = ;

• ² = é a variância de X(²> 0): Var(X) = ²;

• f (x) 0 quando x ;

• A média refere-se ao centro da distribuição e o desvio padrão ao espalhamento (ou achatamento) da curva;

• A distribuição normal é simétrica em torno da média o que implica que e média, a mediana e a moda são todas coincidentes;

• O ponto de máximo de f(x) é o ponto X= ;

• Os pontos de inflexão da função são X=+ e X=-;

• A curva é simétrica com relação à ;

2.2. Influencia de  e 2 sobre a distribuição normal

Considere o gráfico abaixo. Nele estão esboçadas duas curvas normais com o mesmo desvio padrão, mas diferentes médias. As duas curvas são idênticas na forma, mas são centradas em diferentes posições ao longo do eixo horizontal

Observe este outro gráfico:

Neste, há duas curvas normais com a mesma média, mas diferentes desvios-padrão. Vemos que as duas curvas são centradas exatamente na mesma posição no eixo horizontal, mas a curva com o maior desvio padrão é menor e se “espalha” mais.

Logo podemos concluir que, a distribuição normal depende  e 2 sendo que quanto maior o desvio padrão, maior o afastamento da média, portanto a curva fica mais aberta, mais espalhada.

2.3.Probabilidade

Considere o seguinte:

Se quisermos calcular a probabilidade entre dois pontos a e b precisaríamos calcular a área sobre a curva (indicado na figura).

Logo a probabilidade será dada por:

Que apresenta um grau relativo de dificuldade, então, usaremos a notação:

Onde X é a distribuição normal, com media  e variância ². Por causa da dificuldade envolvendo este calculo, foi criada uma tabela com valores já estabelecidos, basta consultar a tabela e obter a probabilidade.

Portanto a inúmeras distribuições possíveis, a mais utilizada é a Normal Padronizada que possui