Eq Diferenciais

Referencia: http://bdm.bce.unb.br/bitstream/10483/4686/1/2013_LucasRangelThomas.pdf

Passo 1

Uma equação que contém as derivadas ou diferenciais de uma ou mais variáveis dependentes, em relação a uma ou mais variáveis independentes, é denominada equação diferencial (ED).

Este trabalho aborda as possibilidades de modelagem matemática de sistemas através de equações diferenciais. Dependendo do problema de interesse, esta modelagem pode ser feita de forma analítica ou de forma computacional.

Equações diferenciais são ferramentas matemáticas usadas para calcular

a evolução de sistemas. O objetivo da modelagem é encontrar a taxa de

variação com o tempo das grandezas que caracterizam o problema, ou seja, a

dinâmica temporal do sistema de interesse. Resolvendo a equação diferencial

(ou sistema de equações diferenciais) que caracteriza determinado processo

ou sistema, pode-se extrair informações relevantes sobre os mesmos e, possivelmente, prever o seu comportamento.

Hoje em dia, o uso de equações diferenciais foi estendido para as mais

diversas áreas do conhecimento. Para citar alguns exemplos de aplicações de

equações diferenciais em Ciências Naturais, temos o problema da dinâmica de

populações, o de propagação de epidemias, a datação por carbono radioativo,

a exploração de recursos renováveis, a competição de espécies como, por

exemplo, no sistema predador versus presa. Fora das Ciências Naturais, as

equações diferenciais também encontram aplicação em economia, no sistema

financeiro, no comércio, no comportamento de populações humanas, dentre

outras.

Assim, o estudo e o desenvolvimento da área de modelagem de sistemas

através de equações diferenciais são de suma importância para a compreensão de problemas reais, apresentando aplicações nas mais diversas áreas do

conhecimento.

Passo 2

Técnicas de Integração de funções de uma variavel

O principal desafio que se apresenta na modelagem de sistemas em termos

de equações diferenciais é formular as equações que descrevem o problema a

partir de um conjunto restrito de informações, ou “pistas”, sobre o comportamento geral do sistema. A construção do modelo envolve uma percepção

da situação real em linguagem matemática. Para que o modelo seja uma

boa representação da realidade, é de fundamental importância enunciar de

maneira precisa os princípios que governam o sistema de interesse.

Uma equação diferencial é uma lei, ou uma prescrição, que relaciona determinada função com suas derivadas. Em outras palavras, uma equação

diferencial estabelece a taxa segundo a qual as coisas acontecem. Resolver uma equação diferencial é encontrar a função que satisfaz a equação e,

frequentemente, determinado conjunto de condições iniciais. A partir do

conhecimento destas condições, a solução da equação diferencial fornece o

valor da função em qualquer valor posterior da variável independente. Em

particular,na descrição de um sistema em termos de uma função da variá-

vel independente tempo, a resolução da equação diferencial correspondente

permite prever o comportamento futuro do sistema.

Número de variáveis da função: As equações diferenciais podem ser

classificadas quanto ao número de variáveis da função em termos da qual a

equação é escrita. Equações diferenciais ordinárias (EDO) são aquelas cuja

solução é uma função de apenas uma variável, ou seja, podem ser resolvidas

apenas por derivadas simples. Um exemplo dado por Boyce e Diprima(2012)

[2] de uma EDO é

Ld²Q(t)/dt² + RdQ(t)/dt + 1/C Q(t) = E(t)

que descreve o circuito RLC, com capacitância C, resistência R e indutância

L. A função do tempo E(t) é a voltagem (conhecida) impressa no sistema.

A função Q(t), que é a solução procurada da equação diferencial, representa

a carga em função do tempo fluindo no circuito. O circuito RLC é frequentemente utilizado em rádios.

A ordem de uma equação diferencial é definida a partir