Equações De Ordem Superior

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Ensino Superior: EDO: Aplicações

Decaimento Radioativo

Crescim. populacional: Malthus

Crescim. populacional: Verhulst

Lei do resfriamento de Newton

Circuitos Elétricos: RLC, RC, RL, LC

Decaimento Radioativo

Fatos experimentais mostram que materiais radioativos desintegram a uma taxa proporcional à quantidade presente do material. Se Q=Q(t) é a quantidade presente de um certo material radioativo no instante t, então a taxa de variação de Q(t) com respeito ao tempo t, aqui denotada por dQ/dt, é dada por:

dQ/dt = k Q(t)

onde k é uma constante negativa bem definida do ponto de vista físico. Por exemplo, para o Carbono 14 o valor aproximado é k=-1,244×10-4, para o Rádio o valor aproximado é k=-1,4×10-11

Normalmente consideramos Q(0)=Qo a quantidade inicial do material radioativo considerado. Quando não conhecemos o material radioativo, devemos determinar o valor da constante k, o que pode ser feito através da característica de "meia-vida" do material. A "meia-vida" é o tempo necessário para desintegrar a metade do material. Portanto, se nós conhecemos a meia-vida do material, podemos obter a constante k e vice-versa. Em livro de de Química podemos obter as "meias-vidas" de vários materiais radioativos. Por exemplo, a meia-vida do Carbono-14 está entre 5538-5598 anos, numa média de 5568 anos com um erro para mais ou para menos de 30 anos. O Carbono-14 é uma importante ferramenta em Pesquisa Arqueológica conhecida como teste do radiocarbono.

Exemplo: Um isótopo radioativo tem uma meia-vida de 16 dias. Você deseja ter 30 g no final de 30 dias. Com quanto radioisótopo você deve começar?

Solução: Desde que a "meia-vida" está dada em dias nós mediremos o tempo em dias. Seja Q(t) a quantidade presente no instante t e Q(0)=Qo a quantidade inicial. Sabemos que r é uma constante e usaremos a "meia-vida" 16 dias para obter a constante k.

Realmente, temos que:

Q(t) = Qo ekt

mas para t=16, teremos Q(16)=½Qo, logo

½ Qo = Qo e16k

assim

e16k = 1/2

Aplicando o logaritmo natural em ambos os membros da igualdade, obtemos:

k = - [ln(2)]/16 = - 0,043321698785

e dessa forma temos a função que determina a quantidade de material radioativo a qualquer momento:

Q(t) = Qo e 0,043321698785 t

Crescimento Populacional: Malthus

Problemas populacionais nos levam fatalmente às perguntas:

Qual será a população de um certo local ou meio ambiente em alguns anos?

Como poderemos proteger os recursos deste local ou deste meio ambiente para que não ocorra a extinção de uma ou de várias espécies?

Para apresentar uma aplicação de equações diferenciais relacionado com este problema, consideraremos o modelo matemático mais simples para tratar sobre o crescimento populacional de algumas espécies. Ele é chamado o Modelo de Crescimento Exponencial, isto é, a taxa de variação da população em relação ao tempo, aqui denotada por dP/dt, é proporcional à população presente. Em outras palavras, se P=P(t) mede a população, nós temos

dP/dt = k P

onde a taxa k é uma constante. É simples verificar que se k>0, nós teremos crescimento e se k<0, nós teremos decaimento. Esta é uma EDO linear que quando resolvida nos dá:

P(t) = Po ek.t

onde Po é a população inicial, isto é P(0)=Po. Portanto, concluimos o seguinte:

Se k>0, a população cresce e continua a expandir para +infinito.

Se k<0, a população se reduzirá e tenderá a 0. Em outras palavras, a população será extinta.

O primeiro caso, k>0, não é adequado e o modelo pode não funcionar bem a longo prazo. O argumento principal para isto vem das limitações do ambiente. A complicação é que o crescimento populacional é eventualmente limitado por algum fator, usualmente dentre aqueles recursos essenciais. Quando uma população está muito distante de seu limite de crescimento ela pode crescer de forma exponencial, mas quando está próxima de seu limite o tamanho da população pode variar.

Crescimento Populacional: Verhulst

Existe um outro modelo proposto para remediar este problema do modelo exponencial. Ele é chamado o Modelo Logistico ou modelo de Verhulst-Pearl. A EDO para este modelo é

dP/dt = k P (1 - P/L)

onde L é o limite máximo para a população (também chamado a capacidade do ambiente). Se P=P(t) é pequeno quando comparado com L, a EDO se reduz à equação exponencial.

Este é um exemplo de uma EDO não linear separável. As soluções constantes são P=0 e P=L. As soluções não constantes podem ser obtidas pela separação das variáveis, seguido do uso de integração com o uso da técnica das frações parciais.

Com algumas manipulações algébricas, teremos:

P(t) = L C ekt / (L + C ekt)

onde C é uma constante e L é o limite do ambiente.

Considerando P(0)=Po e assumindo que Po não é igual a 0 nem igual a L, obteremos:

Com cálculos simples de limites podemos mostrar que quando t cresce para mais infinito, então:

Lim P(t) = L

Esta solução já diz muito mais que a outra, entretanto este modelo ainda é satisfatório pois não nos diz quando uma população estará extinta. Mesmo começando com uma população pequena,