Equações Diferenciais E sério Etapa 1 E 2

Equações Diferenciais. Aplicações e Modelagem.

ETAPA 1

Esta atividade é importante para você compreender a caracterização de uma equação diferencial e a sua aplicação em problemas de engenharia.

Para realizá-la, devem ser seguidos os passos descritos.

PASSO 1

Pesquisar e estudar sobre a modelagem de sistemas por meio de equações diferenciais em sistemas físicos e problemas de engenharia.

Sites sugeridos para pesquisa

• Equações Diferenciais Ordinárias e Aplicações. Disponível em: <https://docs.google.com/file/d/0B9a4HNta2XG3TXE2c2xhNXJvVk0/edit?usp=sh aring >.

• Aplicação das Equações Diferenciais. Disponível em: <https://docs.google.com/file/d/0B9a4HNta2XG3Y3RWTGdERUwyYVE/edit?usp=sharing >.

Através da modelagem matemática estudamos e simulamos sistemas reais prevendo o comportamento dos mesmos, empregando em diversos campos de estudo, como física, química, biologia, economia e engenharia. Modelagem é a representação matemática de um fenômeno. A modelagem de um fenômeno via equações diferenciais, é normalmente feita da seguinte forma: através da simples observação conseguem-se informações sobre as taxas de variação do fenômeno (que do ponto de vista matemático são derivadas), escreve-se a equação que relaciona as taxas de variação e a função, isto é, a equação diferencial associada e, a partir da solução desta equação tem-se uma possível descrição do fenômeno.

PASSO 2

Revisar os conteúdos sobre diferencial de uma função e sobre as técnicas de integração de funções de uma variável. Utilizar como bibliografia o Livro-Texto da disciplina (identificado ao final da ATPS).

Com as técnicas de integração e com habilidades, faremos análises de cálculos diversos, e com a pratica podemos integrar diversas funções sendo capazes de absorver a sua essência. O problema da integração deve ser visto como uma forma de analisar e gerar diversos resultados algébricos, tornando diversas técnicas em resultado numérico. Método de prever e verificar uma boa estratégia para se encontrar primitivas simples é fazer uma conjectura de qual deve ser a resposta e depois verificar sua resposta derivando-a. Se obtivermos o resultado esperado, acabou. O método de conjecturar e verificar são útil na inversão da regra da cadeia. Método por substituição

Quando o integrado e complicado utilizamos essa técnica para formalizar o método de conjeturar e verificar da seguinte maneira Dw = w´(x) dx = (dw/dx) dx No método de substituição parece que tratamos dw e dx como entidades separadas, até cancelando-as da equação dw= (dw/dx)dx. Método Por partes A técnica de integração por partes consiste da utilização do conceito de diferencial inversa aplicado à fórmula da regra da diferencial do produto.

PASSO 3

Estudar o método de resolução de equações diferenciais lineares de variáveis separáveis e de primeira ordem. Utilizar como bibliografia o Livro-Texto da disciplina (identificado ao final da ATPS).

Equações diferenciais lineares de variáveis separáveis: A equação diferencial M(x,y).dx + N(x,y).dy = 0 será de variáveis separáveis se: - M e N forem funções de apenas uma variável ou constantes. - M e N forem produtos de fatores de uma só variável. Isto é, se a equação diferencial puder ser colocada na forma P(x)dx + Q(y)dy = 0, a equação é chamada equação diferencial de variáveis separáveis. Uma equação diferencial de variável separada é uma equação do tipo: g(y) dy = f(x)dx A solução geral da equação diferencial de variável separada obtém-se pela primitiva de ambos os membros da equação, ou seja, ∫g(y)dy = ∫f(x)dx+C. Chama-se equação de variáveis separáveis uma equação do tipo: F1 (x)h1 (y)dx = f2(x)h2 (y)dy Na qual o coeficiente associado a cada diferencial se pode fatorar em funções, dependentes só de x ou só de y. Dividindo ambos os membros pelo produto f2(x)h1(y) a equação fica com as variáveis separadas: = E o integral geral dessa equação tem a forma ʃ = ʃ +C Equações diferenciais lineares de 1ª ordem: Chama-se equação diferencial linear de 1ªordem a uma equação da forma y'+P(x)y =Q(x) onde P e Q são funções contínuas de x num certo domínio D ⊂ IR. É usual designar por equação completa aquela em que Q(x) ≠ 0enquanto que a equação se chama homogênea, se Q(x)= 0A resolução destas equações pode enquadrar-se da seguinte forma: Se Q(x)= 0, a equação é de variáveis separáveis. Se Q(x)≠0,a equação admite um fator integrante função P de x, I(x, y)= e ∫P(x) dx Como resolver uma Equação diferencial linear de 1ª ordem: Determinar o fator integrante I (x, y) = e ∫P(x) dx Multiplicar a equação diferencial por este fator integrante, isto é e∫P(x) dx (y’+ P(x)y)= e ∫P(x) dxQ(x) Note que o primeiro membro da equação acima é igual a (ye∫P(x)dx) Integrar ambos os membros em ordem a x, ou seja, ye∫P(x)dx= ∫ ( x) e ∫P(x) dxdx

PASSO 4

Pesquisar, em livros, artigos e sites, sobre a modelagem de circuitos elétricos por meio de equações diferenciais.

Sites sugeridos para pesquisa

• Modelagem Matemática Baseada nas Leis de Kirchoff. Disponível em:

<https://docs.google.com/file/d/0B9a4HNta2XG3VGMxNE40d3FpMEU/edit?us p=sharing>. Acesso em: 5 jun. 2013.

• Simulação e Modelagem Computacionais no Auxílio na Aprendizagem Significativa de

Conceitos Básicos de Eletricidade. Disponível em:

<https://docs.google.com/file/d/0B9a4HNta2XG3eUtTcXhxQnZCOFk/edit?usp= sharing>.

• Circuitos de Corrente Elétrica Alternada II. Disponível em:

<https://docs.google.com/file/d/0B9a4HNta2XG3MWtHVVRJTUVFN00/edit?usp=sharing>.

Os circuitos elétricos são basicamente formados por componente lineares passivos: resistores de resistência R(ohm) indutores de indutância L(Henry), capacitores de capacitância