Equações Diferenciais Etapa I E II

ETAPA 1

• PASSO 1

Através das equações diferencias podemos calcular diversos problemas de engenharia e sistemas físicos, que dão-se através de uma variável x, função de uma variável y, derivadas de y e derivadas de x. Como no exemplo:

As equações se subdividem em dois tipos: As equações de Primeira ordem e Segunda Ordem.

- Equações de primeira Ordem

As equações de primeira ordem são equações cuja derivada é de ordem um.

Podemos verificar o uso de uma equação de primeira ordem em uma sistema físico no exemplo a seguir:

Considere um corpo de massa m caindo na atmosfera. Se desprezarmos a resistência do ar, chamando de v sua velocidade em um determinado instante de tempo t e de sua aceleração, a única força atuante é a do seu próprio peso p=m.g, onde g é a constante gravitacional. Pela segunda lei de Newton teremos

Se o objeto partiu do repouso, sua velocidade inicial v=0, e, então , v(t)=g.t. Se o objeto partiu com velocidade inicial v(0) = Vo, então V(t)=gt+Vo. A equação nos diz que toda solução v(t) tem inclinação g, isto é, a velocidade não varia com o tempo e tem sempre a mesma inclinação. Isto é mostrado no gráfico abaixo, chamado de campo de direções ou vetores, onde desenhamos pequenos segmentos de reto com coeficiente angular g=9,8. Chamando de x(t) a

Posição do objeto em cada instante de tempo t, temos que

- Equações de Segunda Ordem

As equações de segunda ordem são equações cuja derivada é de ordem dois.

• PASSO 2

Métodos para integrações de funções de uma variável:

O método para resolução de funções variáveis pode ser realizado de duas formas, pelo método de separação de variáveis e rela resolução das funções:

O método de separação de variáveis consiste em separar as variáveis x de y, para depois realizar a integração. Porém este método não é possível em todos os casos.

O método de resolução das funções consiste em primeiramente integrar em função de x, para depois integrar em função de y. Para realizar este cálculo, primeiramente devemos saber se a equação é exata.

Uma equação exata é quando a derivada em relação a x é igual a em relação a y.

• Passo 3

A seguir serão apresentados os métodos de resolução de equações separáveis e lineares de primeira ordem.

- Equações Separáveis

O método de separação de variáveis de aplica a equações do tipo

Assim,

O que é igual a

- Equações Lineares

São equações do tipo

A equação pode ser reescrita

Para se encontrar uma solução para a equação linear, a ideia é transformar o lado esquerdo em o. Depois multiplicamos o lado esquerdo por uma função de modo que ela se transforme na derivada do produto de duas funções.

Assim,

• Passo 4

A modelagem matemática de circuitos elétricos é baseada nas leis de Kirchhoff.