Equações Diferenciais Ordinárias

5 Aplicações de equações diferenciais ordinárias

5.1 Decaimento Radioativo

Fatos experimentais mostram que materiais radioativos desintegram a

uma taxa proporcional à quantidade presente do material.

Se Q = Q(t) é a quantidade presente de um certo material radioativo no

instante t, então a taxa de variação de Q(t) com respeito ao tempo t, aqui

denotada por dQ

dt

, é dada por:

dQ

dt

= k Q(t)

onde k é uma constante negativa bem definida do ponto de vista físico.

Para o Carbono 14 a constante é k = −1, 244 E-4 e para o caso do Rádio a

constante é k = −1, 4 E-11.

Normalmente consideramos Q(0) = Q0 a quantidade inicial do material

radioativo considerado. Quando não conhecemos o material radioativo,

devemos determinar o valor da constante k, o que pode ser feito através

da característica de “meia-vida” do material.

5.1 Decaimento Radioativo 47

A “meia-vida” é o tempo necessário para desintegrar a metade do material.

Portanto, se nós conhecemos a meia-vida do material, podemos

obter a constante k e vice-versa. Em livros de Química podemos obter as

“meias-vidas” de vários materiais radioativos.

Por exemplo, a meia-vida do Carbono-14 está na faixa entre 5538 anos e

5598 anos, numa média de 5568 anos com um erro para mais ou para menos

de 30 anos. O Carbono-14 é uma importante ferramenta em Pesquisa

Arqueológica conhecida como teste do radiocarbono.

Problema: Um isótopo radioativo tem uma “meia-vida” de 16 dias. Você

deseja ter 30 g no final de 30 dias. Com quanto radioisótopo você deve

começar?

Solução: Desde que a “meia-vida” está dada em dias, nós mediremos

o tempo em dias. Seja Q = Q(t) a quantidade presente no instante t

e Q(0) = Q0 a quantidade inicial. Sabemos que r é uma constante e

usaremos a “meia-vida” 16 dias para obter a constante k.

Como

Q(t) = Q0 ekt

então, para t = 16 teremos Q(16) = 1

2Q0, logo

1

2

Q0 = Q0 e16k

assim

e16k =

1

2

Aplicando o logaritmo natural em ambos os membros da igualdade, obtemos:

k = −

ln 2

16

= −0, 043321698785

e dessa forma temos a função que determina a quantidade de material

radioativo a qualquer momento:

Q(t) = Q0 e0, 043321698785t

5.2 Lei do resfriamento de Newton 48

5.2 Lei do resfriamento de Newton

Sobre a condução do calor, um modelo real simples que trata sobre a

troca de calor de um corpo com o meio ambiente em que o mesmo está

colocado, aceita três hipóteses básicas:

1. A temperatura T = T(t) depende do tempo t e é a mesma em todos

os pontos do corpo.

2. A temperatura Tm do meio ambiente permanece constante ao longo

da experiência.

3. A taxa de variação da temperatura com relação ao tempo t é proporcional

à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do

meio ambiente.

A montagem e resolução da equação diferencial, assume verdadeiras as

hipóteses e dessa forma

dT

dt

= −k (T − Tm)

onde T = T(t) é a temperatura do corpo no instante t, Tm é a temperatura

constante do meio ambiente e k é uma constante que depende

do material com que o corpo foi construido, sendo que o sinal negativo

indica que a temperatura do corpo está diminuindo com o passar do

tempo, em relação à temperatura do meio ambiente.

Esta equação diferencial é separável, que pode ser transformada em:

dT

T − Tm

= −k dt

Integrando ambos os membros em relação à variável tempo, teremos:

ln(T − Tm) = −k t + k0

Aplicando a função exponencial a ambos os membros e tomando as constantes

embutidas em uma só, obteremos:

T(t) − Tm = C e−kt

5.3 Elementos de Eletricidade 49

e a solução da equação diferencial será

T(t) = Tm + C e−kt

Se sabemos que a temperatura inicial do corpo é T(0) = T0, então substituindo

t