Fractais a partir das variações dos resultados obtidos com a bolinha de papel

I - Objetivo

A experiência descrita no relatório tem como objetivo compreender as dimensões fractais a partir das variações dos resultados obtidos com a bolinha de papel. Essa prática tem como objetivo medir a dimensão fractal de um objeto auto-similar, para isso teremos que aprender a dominar técnicas para aquisição analógica de medidas de comprimento e fazer análise quantitativa de dados: cálculo de erros, representação gráfica e regressão linear.

II – Resumo

A experiência descrita no relatório tem como objetivo compreender as dimensões fractais a partir das variações dos resultados obtidos com a bolinha de papel. Ao contrário da geometria euclidiana que estuda planos e objetos em três dimensões, temos os fractais que analisa formas irregulares e imperfeitas muito encontradas na natureza, como árvores, nuvens, bolinhas de papel e entre outros. Na experiência com a bolinha de papel percebe-se a característica dos fractais em terem auto-semelhança, complexidade infinita e dimensão. No qual, ao fazermos várias bolinhas de papel com massa, aproximadamente, a metade que a outra, cada uma pode ser vista com uma réplica de todo o fractal, tendo assim um infinito número de iterações. Com os resultados percebemos a maior quantidade de dimensões fractais dentro dos intervalos, os números não contidos no intervalo foram retirados pois poderiam representar erros nas preparações das esferas de papeis ou no momento de efetuar as próprias medições.

III - Introdução Teórica.

Durante séculos, os objetos e os conceitos da filosofia e da geometria euclidiana foram considerados como os que melhor descreviam o mundo em que vivemos. A descoberta de geometrias não-euclidianas introduziu novos objetos que representam certos fenômenos do Universo, tal como se passou com os fractais. Assim, considera-se hoje que tais objetos retratam formas e fenômenos da Natureza. A ideia dos fractais teve a sua origem no trabalho de alguns cientistas entre 1857 e 1913. Esse trabalho deu a conhecer alguns objetos, catalogados como "demônios", que se supunha não terem grande valor científico. segundo às concepções da geometria euclidiana.]O estudioso Mandelbrot propôs uma definição fácil de ser entendida:Um fractal é uma forma composta de artes que de algum modo são semelhantes ao todo. Após alguns estudos serem feitos, evoluiu-se essa definição e foi possível estabelecer algumas características que um fractal apresenta:

1. O objeto tem de apresentar uma “estrutura fina”, isto e´ quanto maior for a aproximação da imagem, mais detalhes é possível observar.

2. È muito complexo para ser explicado com termos clássicos(termos euclidianos). Não se trata de um lugar geométrico que satisfaz determinada condição, nem os pontos apresentam um conjunto-solução de uma equação simples.

3. Pode ser construído a partir de um processo simples e direto.

4. Possui algum tipo de auto-semelhança, contém cópias de si próprio a várias escalas. Matematicamente pode ser gerado fractais com intervalos de escalas infinitos, porém na natureza os fractais são encontrados com esses intervalos limitados.

Exemplos de estrutura fractal:

IV - Procedimento Experimental.

Materiais Utilizados :

Folha Sulfite

Régua

Paquímetro

O procedimento consiste em ter uma folha A4, dividir outra folha A4 ao meio, então uma das metades ao meio e assim sucessivamente, até que se tenha uma folha de papel A4, uma A4/2, A4/4, A4/8, A4/16 e uma A4/32. Após isso, consideramos que a massa do papel original é 1, e assim obtemos a seguinte fórmula para determinar a massa de cada pedaço de papel após n divisões:M(ρ)=Kρ^D .A partir deste momento, amassamos as folhas de papel cortado cuidadosamente ate que fique com uma aparência semelhante a uma bola de papel. Com o auxílio de um paquímetro medimos o raio de cada bolinha 5 vezes ( em diferentes direções) e fazemos uma média para obter o raio de cada uma.Anote esses valores em uma tabela, e também os números das bolinhas e as respectivas massas(na unidade m1)

E utilizando a seguinte equação construímos dois gráficos.

D = log (M) / log (L)

Sendo:

M = massa da folha

L = tamanho da folha

A área da folha 2 é o dobro da área da folha1 etc. Como as massas das folhas são proporcionais ás suas áreas , tem-se :

M2 = M3 M4 ..= Mn = 2

M1 M2 M3 Mn-1

Anote esses valores em uma tabela, e também os números das bolinhas e as respectivas massas (na unidade m1)

V - Resultados.

* TABELA 1

Resultados: Valor Médio: diâmetro das esferas

M/D

D1

D2

D3

D4

D5

Dm

Massa 1

8,7

8,6

8,2

8,1

7,9

8,3

Massa 2

10,5

10,3

10,5

10,6

10,9

10,56

Massa 4

12,6

13,00