Função derivada

Derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0

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Considere a figura abaixo, que representa o gráfico de uma função y = f(x), definida num intervalo de números reais.

Observando a figura, podemos definir o seguinte quociente, denominado razão incremental da função

y = f(x), quando x varia de x0 para x0 +  x0 :

Se você não entendeu porque o quociente acima é igual à tg  , revise TRIGONOMETRIA, clicando AQUI. Para RETORNAR, clique em VOLTAR no seu BROWSER.

Define-se a derivada da função y = f(x) no ponto x = x0, como sendo o limite da razão incremental acima, quando  x0 tende a zero, e é representada por f ' (x0) , ou seja:

Nota: a derivada de uma função y = f(x), pode ser representada também pelos símbolos y ' ou dy/dx.

Observe que quando  x0  0 , o ponto Q no gráfico acima, tende a coincidir com o ponto P da mesma figura., definindo a reta r , que forma um ângulo  com o eixo horizontal (eixo das abcissas), e, neste caso, o ângulo SPQ =  .tende ao valor do ângulo  .

Ora, quando  x0  0 , já vimos que o quociente  y0 /  x0 representa a derivada da função y = f(x)

no ponto x0. Mas, o quociente  y0 /  x0 representa , como sabemos da Trigonometria, a tangente do ângulo

SPQ =  , onde P é o vértice do ângulo. Quando  x0  0 , o ângulo SPQ =  , tende ao ângulo  .

Assim, não é difícil concluir que a derivada da função y = f(x) no ponto x = x0 , é igual numericamente à tangente do ângulo  . Esta conclusão será muito utilizada no futuro.

Podemos escrever então:

f '(x0) = tg

Guarde então a seguinte conclusão importante:

A derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0 , coincide numericamente com o valor da tangente trigonométrica do ângulo formado pela tangente geométrica à curva representativa de y = f(x), no ponto

x = x0.

Estou falando há muito tempo em DERIVADAS, e ainda não calculei nenhuma!

Vamos lá!

Existem fórmulas para o cálculo das derivadas das funções - as quais serão mostradas no decorrer deste curso - mas, por enquanto, vamos calcular a derivada de uma função simples, usando a definição. Isto servirá como um ótimo exercício introdutório, que auxiliará no entendimento pleno da definição acima.

Calcule a derivada da função y = x2 , no ponto x = 10.

Temos neste caso:

y = f(x) = x2

f(x +  x) = (x +  x)2 = x2 + 2x. x + ( x)2

f(x +  x) - f(x) = x2 + 2x. x + ( x)2 - x2 = 2x. x + ( x)2

 y = f(x +  x) - f(x) = x2 + 2x. x + ( x)2 - x2 = 2x. x + ( x)2

Portanto,

Observe que colocamos na expressão acima,  x em evidencia e, simplificamos o resultado obtido.

Portanto a derivada da função y = x2 é igual a y ' = 2x .

Logo, a derivada da função y = x2, no ponto x = 10 , será igual a : y ' (10) = 2.10 = 20.

Qual a interpretação geométrica do resultado acima?

Ora, a derivada da função y = x2 , no ponto de abcissa x = 10 , sendo igual a 20, significa que a tangente trigonométrica da reta tangente à curva y = x2 , no ponto x = 10 , será também igual a 20 , conforme teoria vista acima.

Ora, sendo  o ângulo formado por esta reta tangente com o eixo dos x ,  será um ângulo tal que tg  = 20. Consultando uma tábua trigonométrica OU através de uma calculadora científica, concluímos que

  87º 8' 15" .

Então, isto significa que a reta tangente à curva de equação y = x2 , no ponto de abcissa x = 10, forma com o eixo dos x um ângulo igual aproximadamente a   87º 8' 15" .

Agora, calcule como exercício inicial, usando a definição, a derivada da função y = 5x no ponto de abcissa

x = 1000 .

Resposta: 5.

Paulo Marques - Feira de Santana - BA - 02 de janeiro de 2000.

1 - Vimos na lição anterior, que a derivada de uma função y = f(x) no ponto x = x0 pode ser determinada, calculando-se o limite seguinte:

Onde:

A rigor, para o cálculo da derivada de uma função, teremos que calcular o limite acima, para cada função dada. É entretanto, de bom alvitre, conhecer de memória as derivadas das principais funções. Não estamos aqui, a fazer a apologia do "decoreba" , termo vulgarmente utilizado para a necessidade de memorização de uma fórmula. Achamos entretanto, que, por aspectos de praticidade, o conhecimento das fórmulas de derivação de funções, seja de extrema importância, sem, entretanto, eliminar a necessidade de saber

deduzi-las, quando necessário.

Assim, lembrando que a derivada de uma função y = f(x) pode ser indicada pelos símbolos

y ' , f ' (x) ou dy/dx , apresentaremos a seguir, uma tabela contendo as derivadas de algumas das principais funções elementares, restringindo nesta primeira abordagem, a oito funções elementares básicas, além das derivadas da soma, produto e quociente de duas funções.

FUNÇÃO DERIVADA

y = k , k = constante y ' = 0

y = k.x y ' = k

y = x y' = 1

y = xn y ' = n.x n - 1

y = a x , 1  a > 0 y '