INVESTIGAÇÃO DE DERIVATIVOS (CONCEITO E APLICAÇÕES)

PROF. ILYDIO PEREIRA DE SÁ

ESTUDO DAS DERIVADAS (CONCEITO E APLICAÇÕES)

No presente capítulo, estudaremos as noções básicas sobre derivadas de funções e

algumas de suas aplicações nas áreas da Economia e Administração. A noção de

derivada é uma das mais importantes e poderosas ferramentas da Matemática.

Para um bom entendimento sobre derivadas necessitamos do conceito de taxa de

variação média e também o de taxa de variação instantânea. São dois conceitos

simples, importantes e fundamentais para o entendimento das derivadas.

1) TAXA DE VARIAÇÃO MÉDIA

Vejamos um exemplo inicial:

Considere a função f(x) = x2, que define a produção (em toneladas) de uma Empresa

X, em função do número de horas trabalhadas (x). Vamos supor que o início do

expediente, que é representado por x = 0, foi 0:00 horas. Podemos verificar que a

produção cresce, proporcionalmente, com o quadrado do número de horas

trabalhadas, isto é, um intervalo de uma hora, entre 2 h e 3 h, por exemplo, vai gerar

uma produção menor que um intervalo de uma hora, entre 5 h e 6 h. Veja isso:

a) Produção da Empresa até as 2 horas 4 f(2) – f(0) = 22 - 02 = 4 toneladas.

b) Produção da Empresa até as 3 horas 4 f(3) – f(0) = 32 - 02 = 9 toneladas.

Aqui verificamos um aumento de produção de 5 toneladas (9 – 4), em 1 hora,

no intervalo de 2 horas às 3 horas.

c) Produção da Empresa até as 5 horas 4 f(5) – f(0) = 52 - 02 = 25 toneladas.

d) Produção da Empresa até as 6 horas 4 f(6) – f(0) = 62 - 02 = 36 toneladas.

Aqui verificamos um aumento de produção de 11 toneladas (36 – 25), em 1

hora, no intervalo de 5 horas às 6 horas.

O que o exemplo nos mostra? Que, mesmo sendo um intervalo igual (de 1 hora), a

variação da produção não foi a mesma. Em linguagem matemática, dizemos que a

taxa de variação média da produção, das 2 às 3 horas foi de 5 ton/h e que a taxa de

variação média da produção, das 5 às 6 horas foi de 11 ton/h.

Definição:

Dizemos que a taxa de variação média de uma função y = f(x), no intervalo de a até

b (x variando de a até b) é a razão definida por:

b - a

TV f (b) - f(a)

Esta razão apresentada tem uma representação específica na matemática, que é:

x

TV y a b 



= 

Vejamos um segundo exemplo:

Considere a função f(x) = 2x + 1. Determine a taxa de variação desta função no

intervalo [2, 5].

Solução:

9,33

3

28

3

33 - 5

3

2 1- (2 1)

5 2

f (5) - f(2)

x

TV y

5 2

a b = + + = = 



=





= 

Uma possível interpretação: Supondo que a função acima estivesse

representando uma população de bactérias (em milhares), em função do tempo

(medido em segundos, após um instante inicial), teríamos que no intervalo de 2 a 5

segundos após o início da contagem, houve um acréscimo médio de 9,33 milhares

de bactérias por segundo. É isso que representa a denominada taxa de variação

média, entre dois pontos de uma função.

Interpretação Geométrica da Taxa de Variação entre dois pontos

Vamos imaginar que o gráfico da função y = f(x) seja o representado abaixo.

Marcaremos nesse gráfico os pontos do domínio a e b, com os respectivos valores

da função (imagem) f(b) e f(a).

y = f(x)

r

f(b)

y

f(a)

x

a b

Observe que, quando a função é do tipo crescente, a taxa de variação média entre

dois pontos será sempre POSITIVA. Verifique também que, caso a função fosse

decrescente entre esses pontos, a taxa de variação seria NEGATIVA. O que será

que ocorreria se a função fosse constante entre esses pontos?

A taxa de variação média no intervalo

[a, b] é numericamente igual ao

coeficiente angular da reta r que passa

nos pontos do gráfico, cujas abscissas

são os valores a e b.

tg