Inversão De Matrizes

Invers ̃

ao de Matrizes

Lo-Ruhama Florscuk

Bras ́ılia - DF, 20 de agosto de 2014.

Um n ́

umero n ́e chamado de inverso de um n ́

umero m, indicado por m −1 , se n obedece

a seguinte condi ̧c a ̃ o: m · n = n · m = 1. Portanto, sempre existe um n ́

umero m 1 tal que,

1

1

m · m = m · m = 1, m

R e m = 0.

A teoria de invers ̃ao pode ser estendida dos n ́

umeros reais para equa ̧c o ̃ es matriciais, de

forma que equa ̧c ̃oes do tipo AX = B, em que A, X e B s ̃ao matrizes, podem ser resolvidas.

Defini ̧c ̃ao. Uma matriz quadrada A = (a ij )nxn ́e invert ́ıvel (ou n ̃ao singular) se, e somente

se, existe uma matriz B = (b ij )nxn tal que,

A · B = B · A = E

E = matriz identidade.

Demonstra ̧c ̃ao. Sejam B e C inversas de uma matriz A, ent ̃ao,

AB = BA = E = AC = CA

B = BE = B(AC) = (BA)C = EC = C

Logo, AA −1 = A −1 A = E

Exemplo: Tomando A =

de A pois, pela defini ̧c ̃ao,

 −3 

1 4

1 3 

 =

AB =

0 4

1

0 4

 −3 

1 4



 1 3 =

BA =

0 4

0 14

1 3

0 4



1

e B = 

0

−3

4

1

4



 , sabe-se que a matriz B ́e inversa

1 0

= E

0 1

1 0

= E

0 1

Portanto, a matriz B ́e a inversa da matriz A e A ́e n ̃ao singular.

Teorema. Seja uma matriz A = (a ij )nxn n ̃ao singular, ent ̃ao sua inversa ́e u

́ nica.

1Teorema. Seja uma matriz A = (a ij )nxn n ̃ao singular, ent ̃ao o determinante da ma-

triz A ́e n ̃ao trivial, detA = 0.

• M ́etodos para a obten ̧c ̃ao da inversa de uma matriz

1. Seja A uma matriz quadrada nxn e E uma matriz identidade nxn, a inversa de A

pode ser obtida a partir do escalonamento das duas matrizes emparelhadas at ́e que a

matriz A se torne a matriz E.

Exemplo: Seja A =

1 3

, ent ̃ao,

0 4

1 3 | 1 0

1 0 | 1

→

0 4 | 0 1

0 1 | 0

 −3 

1 4



 .

Portanto, a inversa de A ́e

1

0 4

−3

4

1

4

2. Seja A uma matriz quadrada nxn, pela defini ̧c a ̃ o AB = BA = E, logo, sup ̃oe-se

a b

B =

e encontra-se as vari ́aveis a, b, c e d por substitui ̧c ̃ao.

c d

Exemplo: Seja A =

AB =

3 1

2 1

3 1

,

2 1

1 0

3a + c 3b + d

1 0

a b

=

→

=

c d

0 1

2a + c 2b + d

0 1

3a + c = 1

2a + c = 0

3b + d = 0

2b + d = 1

Logo, resolvendo os sistemas, a = 1, b = −1, c = −2 e d = 3, tal que a inversa de A

1 −1

́e B = A −1 =

.

−2 3

3. A inversa de uma matriz A, caso exista, pode ser dada por:

A −1 =

1

detA

· (cof A) T

cof