Matriz

MATRIZ

"Muitas vezes, para designar com clarezas certas situações, é necessário formar um grupo ordenado de números que se apresentam dispostos em linhas e colunas numa tabela. Essas tabelas são chamadas matrizes." (Dante-2005).

1. INTRODUÇÃO

Historicamente o estudo das Matrizes era apenas uma sombra dos Determinantes, linha essa apenas modificada com o surgimento de Joseph Sylvester, primeiro a dar um nome ao novo ramo da matemática, mas coube a Cayley, amigo de Sylvester, não somente a prova, mas também a demonstração das utilidades das Matrizes em sua obra Memoir on the Theory of Matrizesem1858

Foi só há pouco mais de 150 anos que as matrizes tiveram sua importância detectada e saíram da sombra dos determinantes. O primeiro a lhes dar um nome parece ter sido Cauchy, 1826: tableau .

O nome matriz só veio com James Joseph Sylvester, 1850. Seu amigo Cayley, com sua famosa Memoir on the Theory of Matrices, 1858, divulgou esse nome e iniciou a demonstrar sua utilidade.

Por que Sylvester deu o nome matriz às matrizes?

Usou o significado coloquial da palavra matriz, qual seja: local onde algo se gera ou cria. Com efeito, via-as como “... um bloco retangular de termos... o que não representa um determinante, mas é como se fosse uma MATRIZ a partir da qual podemos formar vários sistemas de determinantes, ao fixar um número p e escolha à vontade p linhas e p colunas..." (artigo publicado na Philosophical Magazine de 1850, pág. 363-370).

Observe que Sylvester ainda via as matrizes como mero ingrediente dos determinantes. É só com Cayley que elas passam a ter vida própria e gradativamente começam a suplantar os determinantes em importância.

Costuma-se dizer que um primeiro curso de Teoria das Matrizes - ou de sua versão mais abstrata, a Álgebra Linear - deve ir no mínimo até o Teorema Espectral. Pois bem, esse teorema e toda uma série de resultados auxiliares já eram conhecidos antes de Cayley iniciar a estudar as matrizes como uma classe notável de objetos matemáticos.

Como se explica isso? Esses resultados, bem como a maioria dos resultados básicos da Teoria da Matriz, foram descobertos quando os matemáticos dos séculos XVIII e XIX passaram a investigar a Teoria das Formas Quadráticas. Hoje, consideramos imprescindível estudar essas formas através da notação e metodologia matricial, mas naquela época elas eram tratadas escalarmente.

O primeiro uso implícito da noção de matriz ocorreu quando Lagrange c. 1790 reduziu a caracterização dos máximos e mínimos, de uma função real de várias variáveis, ao estudo do sinal da forma quadrática associada à matriz das segundas derivadas dessa função. Sempre trabalhando escalarmente, ele chegou à uma conclusão que hoje expressamos em termos de matriz positiva definida. Após Lagrange, já no século XIX, a Teoria das Formas Quadráticas chegou a ser um dos assuntos mais importantes em termos de pesquisas, principalmente no que toca ao estudo de seus invariantes. Essas investigações tiveram como subproduto a descoberta de uma grande quantidade de resultados e conceitos básicos de matrizes.

Assim que podemos dizer que a Teoria das Matrizes teve como mãe a Teoria das Formas Quadráticas, pois que seus métodos e resultados básicos foram lá gerados. Hoje, contudo, o estudo das formas quadráticas é um mero capítulo da Teoria das Matrizes. Observemos, ademais, que os determinantes em nada contribuíram para o desenvolvimento da Teoria das Matrizes.

2. DEFINIÇÃO

Uma matriz é um conjunto de linhas e colunas de elementos numéricos organizadas num retângulo e que possuem certas propriedades matemáticas bem definidas. Em outras palavras, é uma tabela de informações codificadas em números.

Seja a matriz dada abaixo

Os elementos matriciais de A podem ser generalizados como Amxn = (aij), onde m e n é a ordem da matriz entre linhas e colunas respectivamente, i o número de linhas e j o número de colunas dos elementos dentro da matriz. Assim se quisermos o elemento da 5ª linha e 6º coluna, o escrevemos assim:

Amxn = (a56)

As matrizes são representadas matematicamente através de parênteses, como em (I), ou através de colchetes. Elas podem ser somadas, subtraídas e multiplicas, possuindo, assim, algumas propriedades. Se forem quadradas possuem duas diagonais, a Diagonal Principal, que parte da esquerda para direita e compreende os elementos do centro, e a Diagonal Secundária, que parte da direita para a esquerda e compreende os elementos do centro no sentido contrário, como a seguir: