Matrizes

Matrizes

Definição: Sejam m e n dois números naturais. Uma matriz é uma dupla seqüência de números (reais ou complexos), distribuídos em m linhas e n colunas, formando um arranjo retangular, que se indica na forma , e cada número que compõe a matriz chama-se termo dessa matriz.

Uma matriz também pode ser representada na forma abreviada por .

Dada uma matriz , ao símbolo que representa indistintamente todos os seus termos daremos o nome de termo geral da matriz.

Se não existirem dúvidas quanto à quantidade de linhas e colunas de uma matriz, podemos indicá-la apenas por letras latinas maiúsculas A, B, C, D, ... , omitindo os índices m e n.

Representamos por Mmxn(R) o conjunto formado por todas as matrizes cujos elementos são números reais.

Representamos por Mmxn(C) o conjunto formado por todas as matrizes cujos elementos são números complexos.

Dada uma matriz , se o número de linhas é igual ao número de colunas, e neste caso temos m = n, dizemos que é uma matriz quadrada de ordem m. E o conjunto formado por todas as matrizes quadradas de ordem m denotamos por Mm(K), onde K = R ou K = C.

Igualdade de Matrizes

Dadas duas matrizes : e . Dizemos que elas são iguais, e denotamos por A = B, quando = para cada e .

Matriz-Linha e Matriz-coluna de A

Dada uma matriz : . As m sequências horizontais são chamadas matrizes-linha da matriz A, e as n sequências verticais são chamadas matrizes-coluna da matriz A.

As matrizes-linha denotamos por:

(lê-se: matriz-um-linha), (lê-se: matriz-dois-linha), ..., (lê-se: matriz-m-linha). Cada M1xn(K), onde K = R ou K = C.

As matrizes-coluna denotamos por: (lê-se: matriz-um-coluna), (lê-se: matriz-dois-coluna), ..., (lê-se: matriz-n-coluna). Cada Mmx1(K), onde K = R ou K = C.

Matriz nula

Seja uma matriz : . Dizemos que A é uma matriz nula quando = 0, para cada e . Em geral, denota-se a matriz nula por O.

Matriz identidade

Seja uma matriz : , uma matriz quadrada. Dizemos que A é a matriz identidade, e denotamos por Idm, quando , para cada e .

Matriz escalar

Seja uma matriz : , uma matriz quadrada. Dizemos que A é a matriz escalar, quando existe um número k (real ou complexo) tal que , para cada e .

Matriz diagonal

Seja uma matriz : , uma matriz quadrada. Dizemos que A é a uma matriz diagonal, quando todos os elementos fora da diagonal principal são nulos, isto é, aij = 0 para cada e com i ≠ j. Tal matriz é, às vezes, denotada por A = diag(a11, a22, ..., amm).

Diagonal e Traço de uma matriz A

Dada uma matriz quadrada de ordem m, , define-se:

 a diagonal ou diagonal principal de A como sendo os elementos com os mesmos índices, isto é, a11, a22, ..., amm.

 o traço de A, denotado por tr(A), como sendo a soma dos elementos da diagonal principal. Assim: tr(A) = a11 + a22 + ... + amm.

Matriz triangular

Seja uma matriz : , uma matriz quadrada.

Dizemos que A é a uma matriz triangular superior quando todos os elementos abaixo da diagonal principal são nulos, isto é, aij = 0 para cada e com i > j.

Dizemos que A é a uma matriz triangular inferior quando todos os elementos acima da diagonal principal são nulos, isto é, aij = 0 para cada e com i < j.

Matriz simétrica

Seja uma matriz : , uma matriz quadrada. Dizemos que A é uma matriz simétrica quando aij = aji, para cada e .

Matriz anti-simétrica

Seja uma matriz : , uma matriz quadrada. Dizemos que A é uma matriz anti-simétrica quando aij = - aji, para cada e .

E neste caso, o valor de cada elemento da diagonal principal é zero.

Operações com Matrizes

a) Adição

Sejam duas matrizes : e . Define-se a soma de A com B, e denota-se por , como sendo a matriz .

b) Multiplicação por escalar

Seja uma matriz , , e K. Define-se o produto de por A, e denota-se por , como sendo a matriz .

Quando = -1, a matriz (-1)A denota-se por –A.

Observamos que, quando = 0, 0A é a matriz nula, isto é, 0A = O.

c) Diferença de Matrizes

Sejam duas matrizes : e .. Define-se a diferença de A e B, e denota-se por A – B, como sendo a matriz A – B = A + (-B).

d) Multiplicação de Matrizes

Seja uma matriz , , e uma matriz , . Define-se o produto de A por B e denota-se por , como sendo a matriz onde .

O que essa definição diz é que, para formar o elemento , deve-se tomar a i-ésima linha de A e a j-ésima coluna de B, multiplicar os elementos correspondentes dois a dois e somar os números resultantes; isto é, . Usando a notação de matriz-linha e matriz-coluna, .

Atenção: o número de colunas da matriz A tem que ser igual ao número de linhas da matriz B; se isso não acontece, a multiplicação não é possível.

e) Transposta

Seja uma matriz , . Define-se a transposta de A, e denota-se por At ou AT, como sendo a matriz : At = , onde brs = asr.

f) Transposta conjugada

Seja uma matriz A Є Mmxn(C). Define-se a transposta conjugada de A, e denota-se