Modelagem Matematica

CONCEITO DE LIMITE

Na matemática, o conceito de limite é usado para descrever o comportamento de uma função à medida que o seu argumento se aproxima de um determinado valor, assim como o comportamento de uma sequência de números reais, à medida que o índice (da sequência) vai crescendo, e "E" tende para infinito. Os limites são usados no cálculo diferencial e em outros ramos da análise matemática para definir derivadas e a continuidade de funções.

DEFINIÇÃO

Dada a função y = f(x), definida no intervalo real (a, b), dizemos que esta função f possui um limite finito L quando x tende para um valor x0, se para cada número positivo E , por menor que seja, existe em correspondência um número positivo S , tal que para |x - x0| <S , se tenha |f(x) - L | <E , para todo x ≠ x0 .

Indicamos que L é o limite de uma função f( x ) quando x tende a x0 , através da simbologia abaixo: lim f(x) = Lx→ x0

Exemplo: usando a definição de limite vista acima, que: lim (x + 5) = 8 x→ 3.

Temos no caso: f(x) = x + 5 x0 = 3L = 8.

Com efeito, deveremos provar que dado um E >0 arbitrário, deveremos encontrar um S > 0, tal que, para |x - 3| < S, se tenha |(x + 5) - 8| < S . Ora, |(x + 5) - 8| < S é equivalente a x - 3 | < .Portanto, a desigualdade |x - 3| <S , é verificada, e neste caso S = S. Concluímos então que 8 é o limite da função para x tendendo a 3 ( x S 3) .

O cálculo de limites pela definição, para funções mais elaboradas, é extremamente laborioso e de relativa complexidade. Assim é que, apresentaremos as propriedades básicas, sem demonstrá-las e, na seqüência, as utilizaremos para o cálculo de limites de funções. Antes, porém, valem as seguintes observações preliminares:

a) É conveniente observar que a existência do limite de uma função, quando,

x → x0, não depende necessariamente que a função esteja definida no ponto x0, pois quando calculamos um limite, consideramos os valores da função tão próximos quanto queiramos do ponto x0 , porém não coincidente com x0, ou seja, consideramos os valores da função na vizinhança do ponto x0 .Para exemplificar, consideremos o cálculo do limite da função abaixo, para x 3.

f(x)= (x^2-9)/(x-3)

Observe que para x = 3, a função não é definida. Entretanto, lembrando que

x2 - 9 = (x + 3) (x - 3), substituindo e simplificando, a função fica igual a f(x) = x + 3, cujo limite para x S 3 é igual a 6, obtido pela substituição direta de x por 3.

b) o limite de uma função y = f(x), quando x →x0, pode inclusive, não existir, mesmo a função estando definida neste ponto x0 , ou seja , existindo f(x0).

c) ocorrerão casos nos quais a função f(x) não está definida no ponto x0, porém existirá o limite de f(x) quando x → x0 .

d) nos casos em que a função f(x) estiver definida no ponto x0, e existir o limite da função f(x) para x → x0 e este limite coincidir com o valor da função no ponto x0, diremos que a função f(x) é Contínua no ponto x0 .

e) já vimos à definição do limite de uma função f(x) quando x tende a x0, ou x→ x0. Se x tende para x0, para valores imediatamente inferiores a x0, dizemos que temos um limite à esquerda da função. Se x tende para x0, para valores imediatamente superiores a x0, dizemos que temos um limite à direita da função.

Pode-se demonstrar que se esses limites à direita e à esquerda forem iguais, então este será o limite da função quando x→ x0.

PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LIMITES

P1 - o limite de um soma de funções, é igual à soma dos limites de cada função.

lim ( u + v + w + ... ) = lim u + lim v + lim w + ...

P2 - o limite de um produto é igual ao produto dos limites.

lim (u . v) = lim u . lim v

P3 - o limite de um quociente de funções, é igual ao quociente dos limites.

lim (u / v) = lim u / lim v , se lim v ≠ 0.

P4 - sendo k uma constante e f uma função, lim k. f = k. lim f

Observações:

No cálculo de limites, serão consideradas as igualdades simbólicas, a seguir, envolvendo os símbolos de mais infinito ( + ∞ ) e menos infinito ( - ∞ ), que representam quantidades de módulo infinitamente grande. É conveniente salientar que, o infinitamente grande, não é um número e, sim, uma tendência de uma variável, ou seja: a variável aumenta ou diminui, sem limite.

Na realidade, os símbolos + ∞ e - ∞, não representam números reais, não podendo ser aplicadas a eles, portanto, as técnicas usuais de cálculo algébrico.

Dado b Ԑ R - conjuntos dos números reais terão as seguintes igualdades simbólicas:

b + (+∞) = + ∞

b + (- ∞ ) = - ∞

(+∞) + (+∞ ) = +∞

(- ∞) + (-∞) = - ∞

(+∞) + (-∞ ) = nada se pode afirmar inicialmente. O símbolo ∞ - ∞, é dito um símbolo de indeterminação.

(+∞). (+∞) = +∞

(+ ∞) . 0 = nada se pode afirmar inicialmente. É uma indeterminação.

∞ / ∞ = nada se pode afirmar inicialmente. É uma indeterminação.

No cálculo de limites de funções, é muito comum chegarmos a expressões indeterminadas, o que significa que, para encontrarmos o valor do limite, teremos que levantar a indeterminação, usando as técnicas algébricas. Os principais símbolos de indeterminação são:

∞ - ∞ | ∞. 0 | ∞ / ∞ | ∞0 | 0 / 0| 1∞| 1- ∞

Cálculos de alguns limites imediatos.

a) lim (2x + 3) = 2.5 + 3 = 13

x→5

b) lim (x2 + x) = (+∞ )2 + (+∞ ) = + ∞ + ∞ = + ∞

x→ + ∞