Métodos De Resolução De Sistemas Equações Diferenciais Ordinárias

Problemas envolvendo o movimento de fluidos, fluxo de corrente elétrica, dissipação

de calor, propagação ondas sísmicas, crescimento populacional, podem ser descritos por

equações diferenciais.

Uma equação diferencial é uma equação que contém uma função desconhecida e

algumas de suas derivadas. Através das equações diferenciais podemos determinar o

comportamento futuro de problemas físicos importantes, com base da variação dos valores

presentes.

As equações diferenciais ordinárias são ferramentas fundamentais para a modelagem matemática de vários fenômenos físicos, químicos, biológicos, como tantos outros. A maioria das aplicações de tal ferramenta se aplica quando os fenômenos se apresentam em termos de taxa de variação. Por este fato o estudo das equações diferenciais vem sendo intensificado há muito tempo atrás, principalmente com as contribuições de Euller, Laplace e Leibnitz.

Atualmente muitas outras áreas das ciências possui a formulação teórica de seus problemas aplicando essas equações. Entre outras pode-se destacar as áreas da Ecologia, da Economia e até mesmo da Sociologia.

Este trabalho se concentrará no estudo dos Métodos de Resolução de Sistemas Equações Diferenciais Ordinárias.

Método de Euler

O método de Euler é um dos métodos mais antigo que se conhece para resolução de equações diferenciais ordinárias. Este método também é conhecido por ser Método de Passo Simples. Isso porque para resolver o PVI a aproximação y_(i+1) é calculada utilizando apenas o resultado do passo anterior. É um método de diferenças finitas, usado frequentemente para obter a solução de uma equação diferencial com uma condição inicial, ou seja, problema de valor inicial

Método de Runge Kutta de 4ª Ordem

O método de Runge Kutta é uma combinação dos métodos de Euler, que são de passo simples e dos métodos de Milne de passos múltiplos. Este método consiste em obter a função f(x) a partir da sua derivada, além de aproveitar a série de Taylor nos pontos positivos eliminando o principal ponto negativo da série que é o cálculo de derivadas de f(x,y). Há ainda três características marcantes deste método que é:

Ser de passo um;

Não exige calcular a derivada de f(x,y), em contra partida calcula-se o valor de f(x,y) em diversos pontos;

A expressão coincide com a do método da série de Taylor, após expandir f(x,y) para função de duas variáveis em torno de (x_n,y_n ) e agrupar os termos semelhantes.

O Método de Runge Kutta de quarta ordem é o mais popular entre os métodos pelo fato de ser mais eficiente, pois seu erro é do tipo elevado à quarta potência. Este método envolve uma média ponderada dos valores de f'(x,y) em diferentes pontos do intervalo [x_i,x_i+h] da seguinte maneira:

Vamos levar em conta os subintervalos [x_i,x_i+h/2] e [x_i+h/2,x_i+h],

No extremo esquerdo do intervalo [x_i,x_i+h/2] consideramos f'(x_i