Cálculo II matriz de um sistema de equações diferenciais lineares

Seu objetivo é mostrar que, quando a matriz de um sistema de equações diferenciais lineares de primeira ordem é diagonalizável, então podemos expressar a solução geral desse sistema em termos dos autovalores e auto vetores dessa matriz.

A modelagem de problemas na Física, na Engenharia, na Química e em outras áreas são frequentemente expressos em termos de equações diferenciais. Embora o estudo das equações diferenciais seja uma disciplina à parte, vamos estudar uma aplicação da diagonalização de matrizes na resolução de sistemas de equações diferenciais lineares.

Na Física, a posição de um ponto móvel ao longo de uma reta em um dado instante de tempo é dada por uma função horária . A variação instantânea da posição do móvel é chamada velocidade (instantânea) e, por sua vez, a variação instantânea da velocidade é chamada aceleração.

Por exemplo, se é a função horária de um móvel, então sua velocidade é , e sua aceleração é .

Se uma força variável age sobre o móvel em uma direção paralela à reta onde ele se move, então a Segunda Lei de Newton nos diz que

onde é a massa do ponto movel. Substituindo a aceleração, temos

.

Quando a força é conhecida, mas a função horária não, então a equação

pede por uma função que a torne verdadeira. Nessa equação, a incógnita é uma função , e seus termos envolvem também as derivadas de até a segunda ordem. Por isso, a chamamos de equação diferencial de segunda ordem.

Exemplo 1. Digamos que a força seja , o móvel pese , esteja na origem e com velocidade no instante . Nesse caso, sua função horária é , pois, derivando essa expressão duas vezes, temos , ou seja, essa função é solução da equação diferencial. Pode-se mostrar que, com as condições impostas, essa solução é única.

Uma equação diferencial de ordem juntamente com um conjunto de condições para a função e suas derivadas até ordem constitui o que chamamos de Problema de Valor Inicial, ou PVI. Pode-se mostar que, se um PVI possui solução, então sua solução é única. O exemplo 1 é um PVI.