RDR Calculo III

SUMÁRIO

Introdução 2

Capítulo 1 - Regra de derivação. 3

Capítulo 2 - Regra da Cadeia..... 4

Capítulo 3 –Derivadas de Funções Exponenciais e Logarítmicas. ...... 5

Capítulo 4 - Derivadas de funções Trigonométricas..............................................6

Capítulo 5 - Aplicações das derivadas...............................................................7

Referências 8

Introdução

A derivada de uma função é utilizada para diversas finalidades, algumas das quais iremos explorar neste trabalho, porém não é possível generalizar as aplicações que podemos atribuir às derivadas e limites, muitos recursos podem ser criados a partir dos seus conceitos, bastando para isto, a criatividade de cada mente a se manifestar.

A derivada é a medida da declividade de uma reta tangente a cada ponto da função de onde surgiu, ela também é uma função que fornece valores relativos de muita utilidade, podemos ainda lembrar que o ângulo da reta tangente ao ponto da curva inicial pode ser encontrado através da derivada, pois a derivada fornece o valor da tangente deste ângulo.

Enfim, temos muito o que extrair das derivadas, elas nos fornecem vários artifícios para manipular os números em uma função, possibilitando diversas maneiras de extrair informações. Trazem um novo meio, capaz de nos elucidar novas formas de analisar dados numéricos.

Capítulo 1 - Regras de Derivação

As derivadas não são utilizadas apenas na matemática, poder utlizar a regra para medir taxas e padrões em várias áreas, como por exemplo na biologia .

Por derivada entende-se uma representação da taxa de variação instântanea de uma determinada função.

Explicando de outra maneira, podemos dizer que derivada é o nome dado ao coeficiente angular da reta tangente a função.

A seguir, vamos citar as regras gerais das derivadas de funções, apresentando suas respectivas fórmulas. São elas:

Multiplicação por escala: (kf) ‘(x) = kf’(x)

Soma de funções: (f+g) ‘(x) = f ‘(x) + g ‘(x)

Diferença de funções: (f-g) ‘(x) = f ‘(x) – g ‘(x)

Produto de funções: (f.g) ‘(x) = f(x).g ‘(x) = f ’(x).g (x)

Divisão de funções quando o denominador g=g(x) é não nulo:

Capítulo 2 - Regra da Cadeia

Regra da cadeia é uma fórmula para a derivada da função composta de duas funções.

Criada por Gottfried Leibniz , a regra da cadeia teve uma grande importância para o avanço do cálculo diferencial. Seu desenvolvimento foi devido a mudança de notação, ao invés de usar a notação de Newton, Leibniz adotou uma notação referente a tangente, onde a derivada é dada pela diferença de valores na ordenada dvidida pela diferença dos valores na abcissa e onde essa diferença é infinitamente pequena (dy/dx).

A partir desta observação, a regra da cadeia passou a permitir a diferenciação de funções diversas cujo argumento é outra função.

A regra da cadeia afirma que

que em sua forma sucinta é escrita como:

Alternativamente, na notação de Leibniz, a regra da cadeia é

Capítulo 3 – Derivadas de Funções Exponenciais e Logarítmicas.

Agora obteremos fórmulas das derivadas para as funções logarítmicas e exponenciais e discutiremos as relações gerais entre e derivada de uma função um a um e a sua inversa.

O logaritmo natural desempenha um papel especial no cálculo que pode ser motivado diferenciando , onde b é uma base arbitrária. Para esta proposta, admitiremos que é diferenciável, e portanto contínua para x > 0. Também necessitaremos do limite

Usando a definição