Matematica Financeira

Matemática Financeira

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A matemática financeira é a parte da matemática em que se aplica a análise de dados financeiros, como comparativos e relacionamentos. A matemática financeira tem sua origem na análise de juros e se estende até questões mais complicadas como os cálculos atuariais.

Conceitos fundamentais

Os conceitos básicos da matemática financeira são: finanças e economia, que relacionam as variáveis fundamentais da matemática financeira.

Capital

Refere-se ao montante financeiro empregado em algum investimento ou tomado em algum financiamento. Também pode ser chamado simplesmente de montante.

Tudo gira em torno do capital, que é remunerado de acordo com a troca que ocorre entre credor e devedor.

Todas as operações financeiras envolvem algum capital, e no fim, toda operação de matemática financeira busca analisar o impacto das relações entre as partes e o tempo sobre o capital.

Capitalização

A capitalização é a forma de “rentabilização” do capital. A forma de capitalização pode ser habitualmente do tipo simples ou composta. O próximo tópico explica em detalhes as diferenças entre as duas formas de capitalização.

A capitalização por si só conecta o valor presente ao valor futuro através de uma relação matemática, relação que segue a proporção dos juros em função do tempo.

Juro

É a remuneração do capital em função do tempo. O juro é aplicado (multiplicado) pelo capital empregado na capitalização.

Para o devedor, os juros dão o valor do custo do dinheiro em função do tempo do empréstimo, é o ônus financeiro de tomar este recurso emprestado. Sob a ótica do credor, os juros são o rendimento da aplicação, do financiamento cedido, são a taxa de capitalização.

O juro é a taxa que relaciona o valor presente com o valor futuro.

Valor presente

Um capital que está disponível para aplicação ou resgate no dia de hoje, recebe o nome de valor presente.

O valor presente também se refere a tudo aquilo que não possui risco de fator tempo, uma vez que conceitualmente falando, o risco dentro de um mesmo dia é zero. Isso significa dizer também que, ao menos em tese, não se pode emprestar dinheiro para pagamento no mesmo dia e inclusive, se cobrar juros por isso.

O valor presente é intimamente ligado ao valor futuro através da capitalização.

Valor futuro

Um capital que será recebido ou pago no futuro recebe o nome de valor futuro. Por ser um valor a receber, não pode ser utilizado hoje.

Por estar no futuro, o valor futuro corre o risco de fator tempo, de forma proporcional ao tipo de capitalização utilizado no fluxo do investimento ou financiamento.

O valor futuro é intimamente ligado ao valor presente através da capitalização.

Tempo

O tempo refere-se ao prazo de aplicação. É fator determinante para capitalização, uma vez que é a medida que diz a proporção de juros de rendimento que uma capitalização vai pagar ao investidor, ou que o devedor vai ter de pagar ao credor.

Taxa nominal, efetiva e real

Recebe o nome de taxa nominal o valor absoluto de uma taxa de juros, valor que acaba ficando sujeito aos efeitos da inflação. Isso significa dizer que a taxa nominal não desconta a inflação do seu rendimento.

Exemplo 1: uma aplicação que rende 10% ao ano, durante um ano faz um capital de 100 reais se rentabilizarem 10 reais de ganho de juros. Este é um ganho nominal pois não se considera o efeito da inflação.

Exemplo 2: uma aplicação que rende 15% ao ano, durante um ano faz um capital de 1000 reais se rentabilizarem 150 reais de ganho de juros. Este é um ganho nominal pois não se considera o efeito da inflação.

Quando se retira o valor da inflação da taxa nominal, obtém-se a taxa real, que é a taxa de juros líquida do efeito de inflação.

Exemplo 3: uma aplicação que rende 10% ao ano numa economia onde a inflação é de 4% ao ano tem um juro real de 6% ao ano. Este ganho é liquido da inflação, ou seja, considera a taxa de depreciação da moeda.

Exemplo 4: uma aplicação de 1000 reais que rende 15% ao ano numa economia onde a inflação é de 6% ao ano dá um ganho real ao investidor de 90 reais, sendo que os outros 60 reais ganhos apenas compensaram o efeito da inflação.

A taxa efetiva é aquela cujo período de capitalização está de acordo com o prazo de formação de juros.

Exemplo 5: uma taxa de 2% ao mês que capitaliza todo mês.

Exemplo 6: uma taxa de 20% ao ano que capitaliza todo ano.

Quando uma taxa apresenta período de formação de juros diferente do período de capitalização, há a necessidade de conversão de taxas, e, dependendo do tipo de capitalização tem-se taxas equivalentes ou proporcionais.

Taxas equivalentes e proporcionais

Taxas que resultam no mesmo retorno quando comparadas a um intervalo idêntico e formadas através da capitalização composta são taxas equivalentes.

Exemplo 7: ao regime de juros compostos, uma taxa de 10% ao mês e uma taxa de 21% ao bimestre são equivalentes, pois na capitalização composta capitalizam à mesma proporção.

Taxas que resultam no mesmo retorno quando comparadas a um intervalo idêntico e formadas através da capitalização simples são taxas proporcionais.

Exemplo 8: ao regime de juros simples, uma taxa de 10% ao mês e uma taxa de 20% ao bimestre são proporcionais, pois na capitalização simples capitalizam à mesma proporção.

Fluxo de caixa

O fluxo de caixa é a representação gráfica para uma série de pagamentos e recebimentos em função do tempo. Um fluxo de caixa é representado como sendo uma linha de tempo na horizontal onde setas na vertical indicam entradas e saídas financeiras em relação ao caixa.

A ilustração de um fluxo de caixa é particularmente útil para facilitar a visualização de uma série de entradas e saídas de caixa ao longo do tempo. Um fluxo de caixa ajuda na análise de longos períodos