A Aceleração Gravitacional

Objetivos

A partir deste experimento será possível determinas a aceleração da gravidade do local, no caso, Itajubá, a partir de medidas com respectivos intervalos de tempo, de cálculos de incertezas nas medidas diretas e indiretas e a construção de gráficos.

Introdução

Nas proximidades da superfície da Terra, todo corpo cai com a mesma aceleração, independentemente de sua massa ou formato, se o atrito com o ar puder ser desprezado. Esta aceleração é a aceleração da gravidade.

A aceleração da gravidade varia de um local para outro e mesmo nas proximidades da Terra depende da latitude do local.

Neste experimento, pretende-se calcular a aceleração gravitacional na cidade de Itajubá.

A Lei da Gravitação Universal

Antes de 1686, um grande volume de dados fora coletado sobre os movimentos da Lua e dos planetas, mas não havia um entendimento claro sobre as forças que provocavam os movimentos observados desses corpos celestes. Naquele ano, porém, Isaac Newton proporcionou a chave que abriu os segredos dos céus. Pela primeira lei, Newton sabia que uma força líquida devia agir sobre a lua. Se não houvesse esta força, a Lua se moveria numa trajetória retilínea, e não numa órbita quase circular. Newton argumentou que essa força era resultado da atração gravitacional que a Terra exercia sobre a Lua. Concluiu também que não poderia haver nada de especial no sistema Terra –Lua, ou no sistema do Sol e seus planetas, que determinasse a exclusividade da ação das forças gravitacionais apenas sobre eles. Em outras palavras, percebeu que a força de atração, que faz a Lua se manter na sua trajetória, é a mesma que provoca a queda de uma maçã do alto de uma árvore para o chão. Escreveu, então: “deduzi que as forças que mantém os planetas nas suas órbitas es tão na razão recíproca dos quadrados das distâncias aos centros em torno do qual orbitam; e, assim, comparei a força necessária para manter a Lua na sua órbita com a força da gravidade na superfície da Terra, e verifiquei que as duas respostas são quase iguais”.

Conta-se que Newton foi atingido por uma maçã que caíra da árvore sobre a qual descansava (ou uma variação desse conto).Esse episódio levou Newton, possivelmente, a imaginar que talvez todos os corpos do universo fossem atraídos um pelos outros, da mesma forma que uma maçã era atraída pela Terra. Empenhou-se, então, a analisar os dados astronômicos sobre o movimento da Lua em torno da Terra. A análise desses dados levou Newton à audaciosa afirmação de que a lei da força que governa o movimento dos planetas tem a mesma forma matemática que a lei da força que atrai uma maçã cadente para o solo.

Em 1687, Newton publicou a sua obra sobre a lei da gravitação universal, no livro Princípios Matemáticos da Filosofia Natural. A lei da gravitação, de Newton, afirma : toda partícula do universo atrai toda outra partícula com uma força que é diretamente proporcional ao produto das suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância que as separa.

Se as massas das partículas forem m1 e m2, e se estiverem separadas pela distância r, o módulo dessa força gravitacional é:

F = G m1m2

r²

onde G é um constante universal, denominada constante gravitacional, que foi medida experimentalmente.

Existem diversos aspectos dessa lei que merecem uma certa atenção. A força gravitacional atua como se fosse uma força de ação à distância, que sempre existe entre duas partículas, independente do meio que as separe. A força varia com o inverso do quadrado da distância entre as partículas e, por isso, diminui rapidamente com o aumento da separação. Por último, a força gravitacional é proporcional à massa de cada partícula.

Outro fato importante é que a força gravitacional, exercida por uma distribuição de massa finita, esferossimétrica, sobre uma partícula fora da esfera, é a mesma que seria exercida se toda a massa da distribuição estivesse concentrada no centro da esfera.

Medição da Constante Universal

A constante gravitacional, G, foi medida pela primeira vez numa importante experiência realizada por Sir Henry Cavendish, em 1798. O aparelho de Cavendish se compunha de duas pequeninas esferas, cada qual de massa m, fixa nas extremidades de uma haste leve, horizontal, pendurada por um fio fino de fibra, ou um fio metálico. Duas grandes esferas, cada qual de massa M, estão nas proximidades das pequenas esferas. A força de atração entre as esferas grandes e pequenas provoca a rotação da haste e a torção do fio da suspensão. Se o sistema estiver orientado como na figura, a haste fará uma rotação no sentido horário, vista de cima. O ângulo de rotação é medido pela deflexão de um raio de luz refletido por um espelho solidário com a suspensão vertical. O desvio do feixe de luz é uma técnica eficiente para amplificar o movimento. A experiência é cuidadosamente repetida com massas diferentes, a separações diferentes. Além de proporcionarem um valor para G, os resultados da experiência demonstram que a força é atrativa, proporcional ao produto m.M das massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância r.

3. A aceleração da gravidade

De acordo com o Princípio Fundamental da Dinâmica, ou segunda lei de Newton, “Quando uma força é aplicada a uma partícula, ela produz, na sua direção e sentido, uma aceleração com módulo proporcional ao módulo da força aplicada.”

Matematicamente, pode-se escrever, sendo F a força aplicada e a, a aceleração produzida:

F = k a

Para produzir uma mesma aceleração a, quanto maior a constante k, maior deverá ser a intensidade da força a ser aplicada e, portanto, k mede a dificuldade em acelerar o corpo, isto é: a constante k é uma medida da inércia do corpo, e recebe o nome de massa inercial, que é representada por m. Assim:

F