A Capacitância

Universidade Federal do Paraná

Setor de Ciências Exatas

Departamento de Física

Física Geral B – Prof. Dr. Ricardo Luiz Viana

Aula 10: Capacitância

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Garrafa de Leyden – inventada em 1745 pelo físico holandês Pieter van Musschenbroek (da Universidade de Leyden): consistia numa garrafa cheia de água e com as paredes metalizadas, um arame passando por uma tampa isolante (rolha) e ligado à parede interna. Seu objetivo era armazenar energia elétrica, tendo sido o antepassado dos atuais capacitores. Foi largamente empregado na pesquisa sobre eletricidade dos pioneiros como Benjamin Franklin.

[pic 1]             [pic 2]

Capacitor: dispositivo que armazena energia potencial elétrica num circuito. Também chamado “condensador”.

Forma genérica: dois condutores isolados e separados de uma certa distância, separados pelo ar ou outro meio isolante. Os condutores têm cargas de mesmo módulo q e sinais opostos.

[pic 3]

Os condutores são ambos equipotenciais, com potenciais Va e Vb, com uma ddp V = Va-Vb

Capacitância: carga por unidade de ddp

[pic 4]

Unidade no S.I.: [C] = [q]/[V] = C/V = F (Farad)

[pic 5]   [pic 6]

Capacitor de placas paralelas: cargas + q e –q nas placas paralelas de área A, separadas por uma distância d - campo elétrico entre as placas é aproximadamente uniforme (desprezando efeitos de borda)

[pic 7]

A ddp V entre as placas é mantida por uma fonte de tensão (pilha, bateria). Como o campo é uniforme, vale

V = E d

Para calcular o campo elétrico entre as placas, usaremos a Lei de Gauss. Passando uma gaussiana cilíndrica de altura h e área da base A paralela a uma das placas temos

[pic 8]

onde q é a carga envolvida pela gaussiana = carga na superfície externa da placa

- Base 1: dA é paralelo ao campo E, E . dA = E dA cos 0o = E dA. Como E é uniforme (constante) [pic 9]

- Base 2: como encontra-se dentro da placa condutora, E = 0, logo[pic 10]

- Lateral: dA é perpendicular ao campo E, E . dA = E dA cos 90o = 0,

então [pic 11]

[pic 12]

substituindo na definição de capacitância

[pic 13]          ou seja,      [pic 14]

Problema resolvido: Uma capacitor de placas paralelas possui placas circulares de raio r = 8,2 cm e separação d = 1,3 mm. (a) Calcule a capacitância; (b) Que carga aparecerá sobre as placas se a ddp aplicada for de 120 V?

Solução: (a)

[pic 15]

(b) q = CV = 1,44x10-10 x 120 = 1,73 x 10-8 C = 17,3 nC

Problema proposto: Sejam duas placas metálicas planas e quadradas de lado 1,00 m. Qual deveria ser a separação entre as placas, se com elas desejássemos construir um capacitor com capacitância de 1,00 F? É possível construir tal capacitor? Resposta: 8,85 x 10-12 m

Capacitor cilíndrico (garrafa de Leyden): uma casca cilíndrica de raio b envolvendo um cilindro condutor de raio a, ambas de comprimento L. A superfície gaussiana é um cilindro de raio r, onde b < r < a. Da Lei de Gauss:

[pic 16]

onde q é a carga envolvida pela gaussiana = carga no cilindro de raio a

- Bases 1 e 2: dA é perpendicular ao campo E, E . dA = E dA cos 90o = 0. Como E é uniforme (constante) [pic 17]

- Lateral: dA é paralelo ao campo E, E . dA = E dA cos 0o = E dA, onde E é constante apenas sobre a superfície (E depende de r). Logo [pic 18], onde A é a área da lateral

[pic 19]

Isolando E, que é uma função do raio r, temos

[pic 20]

Para calcular a ddp entre os cilindros usamos a fórmula vista na Aula 7, adaptando-a: o índice i refere-se à placa positiva, e f à placa negativa:

[pic 21]

já que o vetor E é paralelo ao vetor ds (elemento de deslocamento), logo

E. ds = E |ds| cos 0o = E dr

Substituindo E(r), e lembrando que tanto q, como L são constantes:

[pic 22]

Usamos a integral elementar [pic 23] para calcular

[pic 24]

[pic 25]

substituindo na definição de capacitância

[pic 26]          ou seja,      [pic 27]

Energia elétrica armazenada num capacitor: suponha um capacitor inicialmente descarregado. Ligamos suas placas a uma bateria que fornece uma ddp constante V sobre o capacitor. A bateria tem terminais positivo (potencial maior) e negativo (potencial menor). As cargas fluem pelo circuito do ponto de maior para o ponto de menor potencial. Como o capacitor não permite condução, as cargas ficam armazenadas nas placas, e um campo elétrico surge entre elas.

 A bateria fornece a energia necessária para realizar trabalho sobre as cargas que se deslocam – ela é um agente externo, pois realiza trabalho W contra o campo elétrico entre as placas. Logo, se a bateria transferiu uma carga q aparece uma ddp V  tal que V = + W/q, ou seja, W = V. q

[pic 28]

Para um elemento de carga transferida dq temos um trabalho elementar dW = V dq (lembre que a ddp entre as placas é constante). Como C = q/V temos

dW = (q/C) dq.

O trabalho total realizado para carregar o capacitor, desde ele descarregado (q = 0) até uma carga final q = Q é obtido por integração