A Diagonalização de Matrizes

---

DIAGONALIZAÇÃO DE MATRIZES

                .

     

INTRODUÇÃO______________________________________________________p.4

AUTOVALORES E AUTOVETORES__________________________________ p. 5

DIAGONALIZAÇAO DE MATRIZES__________________________________ p. 7

DEFINIÇÃO E DEMONSTRAÇÃO___________________________ p.7

TEOREMA DA DIAGONALIZAÇÃO__________________________ p.9

                MATRIZES NÃO DIAGONALIZAVÉIS________________________P.10

                APLICAÇÕES___________________________________________P.11

CONSIDERAÇÕES FINAIS__________________________________________P.12

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS__________________________________P.13

---

INTRODUÇÃO              

Uma das técnicas mais úteis nas aplicações de matrizes e álgebra linear é diagonalização de matrizes. Essas transformações diagonalizáveis ​​são interessantes, pois as matrizes diagonais são especialmente fáceis de manusear: caso, seus autovalores e autovetores sejam conhecidos, pode-se elevar a matriz diagonal a uma potência simplesmente elevando as entradas diagonais para essa mesma potência e o determinante da matriz diagonal ser o produto de todas as entradas. Segundo definição de Reginaldo Santos (2002), a diagonalização pode ser definida como:

 

Definição: Dizemos que uma matriz A, é diagonalizável, se existem matrizes P e D tais que D = P-¹AP, ou equivalentemente, A = PDP −1 , em que D é uma matriz diagonal.

Exemplo 1.

Toda matriz diagonal

[pic 1]

É diagonalizável, pois

[pic 2]

Em que  é matriz identidade 2 x 2. [pic 3]

        Porém, antes de entrarmos definitivamente em matrizes diagonalizáveis, temos que analisar e entender sobre autovalores e autovetores. E esse será o nosso ponto de partida.

---

AUTOVALORES E AUTOVETORES

Os conceitos de autovalor e auto vetor de uma matriz A, de ordem n, são muito estudados por possuírem inúmeras aplicações: na Matemática, na Física, nas Engenharias: Civil e Elétrica, entre outras. Iniciaremos apresentando a definição de autovalor e auto vetor e algumas das suas propriedades básicas. A seguir, demonstraremos propriedades e teoremas importantes, para que possamos analisar as definições e os resultados consideráveis a respeito da diagonalização de matrizes (Bezerra, 2011).

Definição: Se A é uma matriz de ordem n, real ou complexa, então um vetor não-nulo v em ₵n " é chamado um auto vetor de A se Av é um múltiplo escalar de v, ou seja, Av=Kv para algum escalar K. Este escalar será chamado de autovalor de A e v é um auto vetor associado a K.

É importante notar que, mesmo que a matriz seja composta por números reais, seus autovalores e auto vetores podem ser complexos. O vetor v pode ser qualquer, exceto o vetor nulo, pois a partir da equação acima, teríamos: A.0=K.0 e, assim não poderíamos definir nada a respeito da matriz A e nem do valor K. Portanto, necessitaremos impor a condição: v≠0.

Do ponto de vista algébrico, um auto vetor de uma matriz A é um vetor cuja multiplicação por A pode ser feita de forma muito simples: basta multiplicar este vetor por um escalar.

Em termos de aplicações, o cálculo dos auto vetores e autovalores de uma matriz, frequentemente pode nos conduzir a soluções de equações diferenciais que são de interesse físico, como, por exemplo, frequências naturais de vibração de um instrumento musical, ou de uma simples corda esticada.

Exemplo 2. 

Dada uma matriz A3x3, calcular os autovalores e auto vetores correspondentes:

[pic 4]

---

A matriz resultante desta diferença será:

[pic 5]

Igualando o determinante desta matriz a zero:

[pic 6]

Desenvolvendo esta equação, encontraremos a igualdade:

[pic 7]

Cujas soluções são:

[pic 8]

Aplicado a igualdade  para   obtemos:[pic 9][pic 10]

         [pic 11]

Após transformarmos esta equação matricial num sistema de equações lineares através do desenvolvimento do produto acima, simplificando-a obtemos:

[pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

Através da qual podemos chegar ao resultado:

[pic 15]

---

Que equivale a:                                    .[pic 16]

Portanto o sistema possui infinitas soluções e todas elas são da seguinte forma:

  onde  é um escalar qualquer não nulo. [pic 17][pic 18]

Assim, o auto vetor  está associado ao autovalor . De maneira análoga podemos encontrar os auto vetores associados aos autovalores .[pic 19][pic 20][pic 21]

DIAGONALIZAÇAO DE MATRIZES

Um problema muito comum em matemática aplicada é a necessidade de calcular potências de uma matriz A. Se a matriz envolvida no problema for uma matriz diagonal, esta tarefa é trivialmente executada. Se a matriz não for diagonal, mas se for possível fatorá-la da forma A= PDP-1, onde D é uma matriz diagonal, então é possível calcular facilmente potências de A. Este tipo de fatoração é chamado de diagonalização, a qual estudaremos a seguir (Gilderléia, 2011).