A Função Afim ou Função Polinomial

I – Função Afim ou Função Polinomial do 1º grau

Dizemos que uma função [pic 1] é uma função AFIM (ou polinomial do 1° grau) quando existem números reais a e b tais que [pic 2]. O “a’’ é chamado de taxa de variação da função, enquanto que o b=f(0) é chamado e valor inicial da função.

Aplicação 01:

ACADEMIA	FIQUE EM FORMA	CORPO E SAÚDE
MATRÍCULA	R$100,00	R$80,00
MENSALIDADE	R$80,00	R$120,00

As academias de musculação FIQUE EM FORMA e CORPO E SAÚDE foram abertas recentemente num determinado bairro de Recife. A tabela abaixo exibe os custos e matrícula e mensalidades que são praticados nas duas academias.

Supondo que a matrícula já é encarada como a primeira mensalidade e que um determinado aluno deseja se matricular numa das academias acima descubra as funções que descrevem os custos que este aluno teria para frequentar x meses cada uma das academias.

II – Representação Gráfica de uma função Afim:

Como já vimos anteriormente uma função afim (ou polinomial do 1°grau) é uma função do cuja forma geral é [pic 3]. Denotando f(x) por y, podemos representar graficamente uma função afim num sistema de eixos perpendiculares x0y (sistema cartesiano). Demonstra-se que a representação gráfica sempre será uma reta cuja posição varia de acordo com os valores assumidos por a e b. Vejamos:

[pic 4]

Note que o sinal do “a” define se a função é crescente (a>0) ou decrescente (a<0). Nos dois casos b=f(0) é sempre o local em que a reta intersecta o eixo y.

Aplicação 02:

Ao contratarmos um taxi o valor pago por nós depende (é função) de duas coisas; da distância que percorremos durante a viagem e de um valor fixo que costumeiramente chamamos de bandeirada. Assim, por exemplo, se numa determinada cidade os taxis seguem a seguinte tabela:

BANDEIRADA	CUSTO ADICIONAL/Km
5,00	2,50

Determine:

a) O custo que terá uma pessoa para percorrer x quilômetros;

b) Represente graficamente a função que descreve o custo do taxi.

Observações Importantes:

[pic 5] (FUNÇÃO CONSTANTE)

Graficamente uma função constante é representada por uma reta horizontal. Vejamos:

Reta horizontal acima do eixo x quando b é positivo

[pic 6]

Reta horizontal abaixo do eixo x quando b é negativo

[pic 7]

[pic 8] (FUNÇÃO LINEAR)

Neste caso a representação gráfica é uma reta inclinada em relação ao eixo x e passando pela origem (ponto 0). Vejamos:

[pic 9][pic 10]

Aplicação 03:

A figura abaixo mostra os gráficos das funções custo total C(x) e receita total R(x) de uma empresa produtora de CDs. Se, produzindo e comercializando 960 CDs, o custo e a receita são iguais, qual o lucro pela venda de 2000 CDs?

[pic 11]

III - Estudo do sinal da função Afim:

Dada uma função afim  [pic 12] com, estudar o sinal da função é identificar os valores de x para os quais a função f é nula (zero da função), é negativa ou é positiva. Como a representação gráfica de f é uma reta é fácil estudar o seu sinal; basta desenhar a reta e observar o local em que “corta” o eixo x (zero da função) e os intervalos em que a representação gráfica função está acima do eixo x (f(x)>0) ou abaixo do eixo x (f(x)<0). Observe:

[pic 13]

IV – Função Quadrática ou Função Polinomial do 2º grau

a) Definição:

Uma função f: R [pic 14]R chama-se função quadrática quando existem constantes reais a, b e c, com a, b, c[pic 15] R e  a[pic 16] 0 tais que f(x) = ax2 + bx + c.

b) Existência dos zeros da função quadrática

Um zero de uma função quadrática f é um número [pic 17] tal que f(a)=0. Mas como achar os zeros de uma função quadrática?

Simples; resolvendo a equação quadrática correspondente ax2 + bx + c = 0

Denomina-se discriminante da equação do 2º grau  ax2 + bx + c = 0 ao número   b2 - 4ac, que representamos pela letra Δ (leia: delta).

Δ = b2 – 4ac

A  equação  do 2º grau tem raízes reais (que são os zeros da função quadrática) se, e somente se, o discriminante for maior ou igual a zero.

As raízes são dadas por:

[pic 18]Ou seja, [pic 19]

        

Temos ainda:

• ∆ > 0 (as duas raízes são números reais distintos)

• ∆ = 0 (raiz dupla)

• ∆< 0 (não existem raízes reais)

Aplicação 04:

Quais os zeros da função quadrática [pic 20] dada por [pic 21]?

c) Representação gráfica:

Dada uma função f: R → R chama-se função quadrática f(x) = ax2 + bx + c, com a, b, c∈ R e  a≠ 0 , pode-se demonstrar que a sua representação gráfica é uma curva chamada de  PARÁBOLA que, neste caso, pode ter a sua concavidade (abertura) voltada para cima no caso em que a>0 ou voltada para baixo no caso em que a<0.