A Introdução Matrizes

Matriz

• Uma matriz é um arranjo retangular de números em filas horizontais (linhas) e filas verticais (colunas).
• Ordem de uma matriz: nº de linhas (m) × nº de colunas (n).
• Por exemplo:

• 𝐴 = ordem 2 × 2 ou 𝐴2×2;[pic 1]
• 𝐵 = ordem 3 × 2 ou 𝐵3×2;[pic 2]
• 𝐶 = ordem 2 × 3 ou 𝐶2×3;[pic 3]
• 𝐸 = (9) ordem 1 × 1 ou 𝐸1×1.

• Forma genérica de uma matriz:

• 𝑎𝑖𝑗: elemento na linha i e na coluna j.
• Representamos a matriz na forma:

𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑚×𝑛.

• [pic 4]De forma explícita:

𝐴 =

• Matrizes especiais

• Matriz linha: matriz com única linha.

Exemplo: 𝐴 = [pic 5]

• Matriz coluna: matriz com única coluna.

Exemplo: 𝐴 = [pic 6]

• Matriz quadrada: é a matriz com número de linhas igual ao número de colunas.

[pic 7]

- É comum indicar a ordem da matriz quadrada com um único dígito. A tem ordem 2 e a B ordem 3.

- Obs.: Quando falamos em diagonal principal ou secundária de uma matriz, essa matriz é quadrada.

- aij com i=j         diagonal principal[pic 8]

- aij com i≠j         diagonal principal[pic 9]

• Matriz nula: todos os elementos são zeros.

A= [pic 10]

• Matriz diagonal: matriz quadrada onde os elementos que não estão na diagonal principal são todos iguais a zero: 𝑎𝑖𝑗 = 0 para todo 𝑖 ≠ 𝑗.

[pic 11]

• Matriz retangular: matriz onde m≠n.

A=[pic 12]

 

• Matriz Identidade: matriz diagonal onde os elementos na diag. princ. são iguais a 1.

[pic 13][pic 14]

• Matriz Triangular Superior: matriz quadrada onde os elementos abaixo da diagonal principal são iguais a zero.

𝑎𝑖𝑗 = 0 se 𝑖 > 𝑗.

[pic 16][pic 17][pic 18][pic 15]

• Matriz Triangular Inferior: matriz quadrada onde os elementos acima da diagonal principal são iguais a zero.

𝑎𝑖𝑗 = 0 se 𝑖 < 𝑗. [pic 21][pic 22][pic 23][pic 19][pic 20]

[pic 24]

• [pic 25]Matriz transposta: seja                                      , a transposta é

- É simétrica, se, e somente se, ela for igual a sua transposta. A= At.

- É antissimétrica, se, e somente se, ela for igual a oposta da transposta. A= - At

Operações:

• Igualdade de matrizes

Duas matrizes 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑚×𝑛 e 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗)𝑝×𝑞 são iguais se:

1.  𝑚 = 𝑝 e 𝑛 = 𝑞, ou seja, 𝐴 e 𝐵 tem a mesma ordem;
2. 𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗, ou seja, elementos de 𝐴 e 𝐵 na mesma posição são iguais.

• Adição de matrizes

- A soma de duas matrizes de mesma ordem 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑚×𝑛 e 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗)𝑚×𝑛 é a matriz 𝐶 dada por 𝐶 = (𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗)𝑚×𝑛.

- Notação: 𝐶 = 𝐴 + 𝐵.

- OBS.: A+B = B+A

• Matriz Oposta

- A oposta de uma matriz 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑚×𝑛 é a matriz −𝐴 = (−𝑎𝑖𝑗)𝑚×𝑛.

Ex.: A matriz oposta de é a matriz e vice-versa.[pic 26][pic 27]