A Matrizes na Engenharia

                                                                                 Álgebra Linear[pic 1]

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MATRIZES

1. Introdução

O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada vez mais aplicada em áreas como Economia, Engenharia, Matemática, Física, dentre outras. Vejamos um exemplo.

A tabela a seguir representa as notas de três alunos em uma etapa:

	QUIMICA	INGLÊS	LITERATURA	ESPANHOL
A	8	7	9	8
B	6	6	7	6
C	4	8	5	9

Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura, basta procurar o número que fica na segunda linha e na terceira coluna da tabela.

Vamos agora considerar uma tabela de números dispostos em linhas e colunas, como no exemplo acima, mas colocados entre parênteses ou colchetes:

[pic 3]

Em tabelas assim dispostas, os números são os elementos. As linhas são enumeradas de cima para baixo e as colunas, da esquerda para direita:

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Assim, chama-se de matriz de ordem m por n a um quadro com  elementos ou entradas (números, polinômios, funções, etc) dispostos em m linhas e n colunas:[pic 5]

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1. Representação dos elementos da Matriz

Cada elemento da matriz A é definido por dois índices i e j, que indicam respectivamente a linha e coluna na qual se encontra o elemento na matriz. Assim para um elemento genérico da linha i e da coluna j indica-se: [pic 7]

1. Representação de uma Matriz

A matriz A pode ser representada abreviadamente por ,com i variando de 1 a m, ou seja,  e j variando de 1 a n ()[pic 8][pic 9][pic 10]

1. Ordem da Matriz – Notação

Se a matriz possui m linhas e n colunas, diz-se que ela é de ordem m por n e representa-se da seguinte forma: A(m x n).

Exemplo: A(3 x 4) , diz-se: Matriz de ordem 3 por 4.

1. Matriz Retangular: ma matriz na qual m ≠ n.

Exemplo:  é uma matriz 2 x 3[pic 11]

1. Matriz-Coluna:         É a matriz de ordem m por 1 ()[pic 12]

Exemplo:[pic 13]

1. Matriz-Linha: É a matriz de ordem 1 por n ().[pic 14]

Exemplo:[pic 15]

1.  Matriz quadrada: Quando o número de linhas é igual ao número de colunas, tem-se uma matriz quadrada.

1. Diagonal principal: Em uma matriz quadrada A = [] de ordem n, os elementos  nos quais i = j, constituem a diagonal principal, ou seja, os elementos a11 , a22 , a33 , ...  ann  formam a diagonal principal.[pic 16][pic 17]
2. Diagonal secundária: Na matriz quadrada A = [] de ordem n, os elementos  para os quais , constituem a diagonal secundária. Assim, os elementos a1n, a2n-1 , a3 n-2 , ...  an1  formam a diagonal secundária.[pic 18][pic 19][pic 20]

Exemplo: Na matriz de ordem 4 a seguir, estão indicados os elementos que formam as diagonais, principal e secundária.[pic 21]

1. Matriz Diagonal: É a matriz quadrada  que tem os elementos  quando . Em outras palavras, a matriz diagonal é aquela na qual os elementos que não fazem parte da diagonal principal são todos nulos. [pic 22][pic 23][pic 24]

Exemplo:

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1. Matriz Escalar: É uma matriz diagonal onde os elementos  são iguais entre si.[pic 26]

Exemplo:

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1. Matriz Identidade ou Matriz Unidade: A matriz quadrada de ordem n que tem os elementos da diagonal principal iguais a 1 e todos os demais elementos iguais a zero. Indica-se esta matriz por In , ou simplesmente por I.

Exemplos:

[pic 28][pic 29]

[pic 30]

1.  Matriz Nula ou Matriz Zero: É uma matriz, de ordem , cujos elementos  são todos iguais a zero.[pic 31][pic 32]

Exemplo:

[pic 33]

1. Matriz transposta: matriz  obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as linhas por colunas ou as colunas por linhas. Por exemplo:[pic 34]

[pic 35]

Desse modo, se a matrizé do tipo mxn,  é do tipo nxm.[pic 36][pic 37]

Note que a 1ª linha de  corresponde à 1ª coluna de  e a 2ª linha de  corresponde à 2ª coluna de .[pic 38][pic 39][pic 40][pic 41]

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OPERAÇÕES ENTRE MATRIZES

1. Igualdade de Matrizes:

Duas matrizes A = [] e B = [] de mesma ordem são iguais se, e somente se, . [pic 43][pic 44][pic 45]

Exemplo:

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1. Soma e Subtração de Matrizes: Dadas duas matrizes A = [] e B = [] de mesma ordem (), a soma destas duas matrizes resulta em uma matriz C = [] também de ordem () tal que:  [pic 47][pic 48][pic 49][pic 50][pic 51][pic 52]

Exemplo:

[pic 53]

[pic 54]

1. Propriedades da Adição de Matrizes

Sejam A, B e C matrizes de mesma ordem. São válidas as propriedades:

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