A PROPAGAÇÃO DE ONDAS COM PERDAS DIELÉTRICAS

PROPAGAÇÃO DE ONDAS COM PERDAS DIELÉTRICAS

Um dielétrico com perdas é um meio no qual uma onda EM, quando se propaga, perde energia devido a um dielétrico imperfeito. Em outras palavras, um dielétrico com perdas é um meio parcialmente condutor (dielétrico imperfeito ou condutor imperfeito) com σ ≠ 0, distinto de um dielétrico sem perdas (perfeito ou bom dielétrico) em que σ = 0. Considere um meio dielétrico linear, isotrópico, homogêneo e com perdas que é livre de carga (ρ macroscópico = 0). Assumindo e suprimindo o fator de tempo ejωt, as equações de Maxwell tornam-se:

 (1.1)[pic 1]

 (1.2)[pic 2]

 (1.3)[pic 3]

 (1.4)[pic 4]

Tirando o rotacional dos dois lados da equação 1.3 temos que:

 (1.5)[pic 5]

Aplicando a identidade vetorial:

 (1.6)[pic 6]

Para o lado esquerdo da eq. (1.5) e chamando eqs. (1.1) e (1.4), obtemos

[pic 7]

Ou

 (1.7)[pic 8]

Onde

 (1.8)[pic 9]

E γ, em metros, é chamada constante de propagação do meio. Por um similar

procedimento, pode ser demonstrado que para o campo H:

 (1.9)[pic 10]

As equações (7) e (9) são conhecidas como equações vetoriais de Helmholtz ou simplesmente equações vetoriais de onda. Nas coordenadas cartesianas, a eq. (7), por exemplo, é equivalente a três equações de ondas escalares, uma para cada componente de E ao longo de ax, ay e az.

Sendo que γ em eqs. (1.7) a (1.9) é uma quantidade complexa, podemos definir:

 (1.10)[pic 11]

Nós obtemos α e β das equações 1.8 e 1.10 observando que:

 (1.11)[pic 12]

E

 (1.12)[pic 13]

A partir das equações 11 e 12, nós obtemos:

 (1.13)[pic 14]

 (1.14)[pic 15]

Sem perdas, se assumirmos que a onda se propaga ao longo de +az e que Es possui somente componente em x, então:

 (1.15)[pic 16]

Então substituímos na equação 1.7, obtemos:

 (1.16)[pic 17]

Sem perdas, se assumirmos que a onda se propaga num meio sem limites ao longo de az e que E só possui componente x que não varia com x e y, então:

[pic 18]

Ou

 (1.17)[pic 19]

Essa é a equação escalar de onda, uma equação diferencial linear homogênea, com solução:

 (1.18)[pic 20]

Onde E0 e E0’ são constantes. O fato de que o campo é finito no infinito exige que E0’=0. Inserindo o fator temporal ejωt na equação 1.18 e usando a equação 1.10, obtemos:

 (1.19)[pic 21]

Um desenho de |E| em tempo t=0 e t=Δt é representado na figura 1. Onde se torna evidente que E só possui componente x e está viajando na direção +z. Tendo obtido E(z, t), nos obtemos H(z,t) tomando passos similares ao resolvido na equação (1.9) ou na equação (1.19) em conjunto com as equações de Maxwell. Eventualmente, teremos:

 (1.20)[pic 22]

Onde:

 (1.21)[pic 23]

Onde η é uma quantidade complexa conhecida como impedância intrínseca, em ohms, do meio.

 (1.22)[pic 24]

Com:

 (1.23)[pic 25]

Com 0 ≤ Θn ≤ 45°. Substituindo 1.21 e 1.22 em 1.20 temos que:

 (1.24)[pic 26]

Figura 1 - Um campo E com componente x viajando na direção +z com tempos t=0 e t=Δt; setas indicam valores instantâneos de E.

[pic 27]

Temos, a partir das eqs. (1.19) e (1.24) que, à medida que a onda se propaga ao longo de az, ela diminui ou atenua em amplitude por um fator e e-αz, e, portanto, α é conhecida como constante de atenuação, ou coeficiente de atenuação do meio. É uma medida da taxa espacial de decaimento da onda no meio, medida em nepers/m e pode ser convertida para dB/m. Da eq. (1.13), notamos que se σ = 0, como é o caso de um meio sem perdas (vácuo), α = 0 e a onda não é atenuada à medida que se propaga. A quantidade β é uma medida do deslocamento de fase por unidade de comprimento em radianos por metro e é chamado de constante de fase ou número de onda. Em termos de β, a velocidade de fase u e o comprimento de onda λ são, respectivamente, dados por:

,  (1.25)[pic 28][pic 29]

Também notamos nos eqs. (1.19) e (1.24) que E e H estão fora de fase por Θn a qualquer

instante de tempo devido à impedância intrínseca complexa do meio. Assim, a qualquer momento, E adianta H (ou H atrasa E) por Θn. Finalmente, notamos que a razão entre a magnitude da densidade da corrente de condução Jc e a densidade da corrente de deslocamento Jd em um meio com perdas é:

[pic 30]

Ou:

 (1.26)[pic 31]

onde tan Θ é conhecido como tangente de perda e Θ é o ângulo de perda do meio, como ilustrado na Figura 2. Embora uma linha de demarcação entre bons condutores e dielétricos com perdas não seja fácil de fazer, tan Θ ou Θ podem ser usados ​​para determinar a perda de um meio. Um meio é dito um bom dielétrico (sem perda) se Θ for muito pequeno (σ<<ωε) ou um bom condutor se tan Θ é muito grande (σ>>ωε). Do ponto de vista da propagação de ondas, o comportamento característico de um meio depende não apenas de seus parâmetros constitutivos σ, ε ou μ, mas também da frequência de operação. Um meio que é considerado um bom condutor em baixas frequências pode ser um bom dielétrico em altas frequências.