A VIBRAÇÃO SOB CONDIÇÕES FORÇANTES GERAIS

INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIAS E TECNOLOGIA DE GOIÁS CÂMPUS GOIÂNIA

DEPARTAMENTO DE ÁREAS ACADÊMICAS IV

COORDENAÇÃO DA ÁREA DE MECÂNICA

VIBRAÇÃO DE SISTEMAS MECÂNICOS

VIBRAÇÃO SOB CONDIÇÕES FORÇANTES GERAIS: EXERCÍCIOS

(Grupo 6)  

Alunos:

LUIZ FELIPE DE AZEVEDO PEREIRA

LEONARDO CAMBUIM

MATTEUS MESQUITA PAIVA

Professor:

EIDER LUCIO DE OLIVEIRA

GOIÂNIA

Março de 2017

1. Introdução

Este Trabalho tem por objetivo resolver dois exercícios sobre vibração sob condições forçantes gerais. Onde os mesmos serão desenvolvidos analiticamente e computacionalmente. Para o desenvolvimento analítico, sabe-se que a expansão por série de Fourier permite a descrição de qualquer função no domínio do tempo ou da frequência.

Segundo Rao (2008), Se a função forçante for periódica, mas não-harmônica a mesma pode ser substituída por uma soma de funções harmônicas por do meio do procedimento de análise harmônica. Utilizando o princípio da superposição, a resposta do sistema pode ser determinada pela superposição das respostas harmônicas individuais. Entretanto, se o sistema estiver sujeito a uma força não periódica exercida repentinamente, a resposta envolverá vibração transitória. Onde a resposta transitória de um sistema pode ser determinada utilizando o método das transformadas de Laplace.

 

2. Aspectos Teóricos

2.1. Resposta à força periódica geral

Segundo Rao (2008), quando a força externa ‘F(t)’ é periódica com o período  , ela pode ser expandida em uma série de Fourier.[pic 1]

[pic 2]

[pic 3]

Onde   é a frequência fundamental e , , , ...,  ,  são coeficientes constantes. As Equações 2, 3 e 4 mostram os resultados separadamente para o cálculo dos coeficientes supracitados. [pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9]

[pic 10]

[pic 11]

[pic 12]

Desta forma a equação de movimento do sistema pode ser expressa como.

[pic 13]

[pic 14]

O lado direito dessa equação é uma constante mais uma soma de funções harmônicas. Pelo princípio da superposição, a solução em regime permanente da Equação 6 é a soma das soluções em regime permanente dos três casos a seguir.

Caso 1.

[pic 15]

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Logo, substituindo as Equações 8, 9 e 10 na Equação 7 encontra-se o valor da solução de ‘x(t)’ que é mostrado na Equação 11.

[pic 19]

Caso 2.

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[pic 21]

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[pic 23]

Sabe-se que ‘X’ e ‘ϕ’ são constantes a determinar. ‘X’ e ‘ϕ’ denotam a amplitude e o ângulo de fase da resposta respectivamente. Substituindo as Equações 13, 14 e 15 na Equação 12, desenvolvendo assim as equações e fazendo as devidas substituições matemáticas a solução da equação 12 está expressa na equação 16.

[pic 24]

Onde a razão de frequências ‘r’, dado pela Equação 17 e o fator de amortecimento, , na Equação 18, substituindo na Equação 16.[pic 25]

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[pic 29]

Caso 3.

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        Substituindo as Equações 22, 23 e 24 na Equação 21, e seguindo de forma análoga que foi feito anteriormente, caso 2, e o no final substituindo o valor da razão de frequências no resultado, a solução está na Equação 25.

[pic 34]

        Onde

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        Dessa, forma a solução completa da Equação 6 para regime permanente é dado por

[pic 36]

        De acordo com a Equação 23, percebe-se que a amplitude e o deslocamento de fase correspondentes ao n-ésimo termo dependem ‘n’ . Se ‘nω = ωn’ para qualquer ‘n’, a amplitude da harmônica correspondente será comparativamente grande. Isso será válido, em particular, para pequenos valores de ‘n’ e . Ademais, à medida que ‘n’ fica maior, a amplitude torna-se menor, e os termos correspondentes tendem a zero. Assim normalmente, alguns dos primeiros termos são suficientes para obter a resposta com precisão razoável. [pic 37]

2.2.         Transformadas de Laplace

        Segundo Rao (2008), o método da transformada de Laplace pode ser usado para determinar a resposta de um sistema a qualquer tipo de excitação incluindo os tipos harmônicos e periódico. Esse método pode ser usado para a solução eficiente de equações diferenciais lineares, em particular as quem têm coeficientes constantes. Ele permite a conversão de equações diferenciais em equações algébricas, que são mais fáceis de manipular. As principais vantagens do método são que ele pode tratar funções descontínuas sem qualquer dificuldade particular e que leva automaticamente em conta as condições iniciais.

        De acordo com a equação do movimento de base, têm-se

[pic 38]

A transformada de Laplace da equação do movimento considerando as condições iniciais nulas.

[pic 39]

Algumas propriedades da de Laplace são importantes para o desenvolvimento das questões, abaixo estão listadas algumas de acordo com Rao (2008).

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Tabela 1: Pares de Transformadas de Laplace

Domínio de Laplace	Domínio do tempo
[pic 42]	[pic 43]
[pic 44]	[pic 45]

Ainda segundo Rao (2008), para resolver um problema de vibração usando o método da transformada de Laplace, são necessárias algumas etapas, são elas: Escreva a equação de movimento do sistema, Transforme cada termo da equação usando condições iniciais conhecidas, resolva para a resposta transformada do sistema, obtenha a solução desejada (resposta) usando transformação inversa de Laplace. Algumas outras propriedades e pares de transformadas de Laplace, além das que estão mostradas na Tabela 1, estão em anexo.