ACULDADE DE COMPUTAÇÃO E ENGENHARIA ELÉTRICA CURSO DE ENGENHARIA DA COMPUTAÇÃO

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO SUL E SUDESTE DO PARÁ

FACULDADE DE COMPUTAÇÃO E ENGENHARIA ELÉTRICA CURSO DE ENGENHARIA DA COMPUTAÇÃO 2014

DISCIPLINA: CALCULO NUMÉRICO

INTERPOLAÇÃO

ALBER DA SILVA FONSECA

CAIQUE CESAR SANTOS DA SILVA

JESSICA SILVA SOARES

TIAGO ARAUJO ROCHA

Marabá/PA

Dezembro/2016

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ALBER S. FONSECA

ALBER DA SILVA FONSECA

CAIQUE CESAR SANTOS DA SILVA

JESSICA SILVA SOARES

TIAGO ARAUJO ROCHA

INTERPOLAÇÃO

Trabalho avaliativo, apresentado ao Professor ministrante da Disciplina: Calculo Numérico, da Faculdade de Engenharia Elétrica e Computação, como parte dos requisitos para obtenção de nota na 3ª avaliação.

Professor:

Prof. Msc. DIEGO KASUO NAKATA DA SILVA.

Marabá/PA

Dezembro/2016

ÍNDICE

1. INTRODUÇÃO        4

2. DEFINIÇÕES DE INTERPOLAÇÃO        4

3. INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL        5

3.1 INTERPOLAÇÃO LINEAR        6

4. REFERENCIA        8

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1. INTRODUÇÃO

        Por vezes, é necessário realizar aproximações em pontos que estão entre valores de um conjunto discreto. Além disso, há casos cuja função apresenta certo nível de complicação que podem ser simplificada. Estas situações são conhecidas como ajuste de curvas.

Existem abordagens gerais de ajuste de curvas baseadas na quantidade de erro relacionado com os dados levantados.

Em nosso caso, quando os dados forem precisos, o método usado ajustará uma curva ou varias curvas que passam diretamente em cada ponto. Esse procedimento é chamado de interpolação.

Desde modo, ao interpolar uma função f(x), está se aproximando a uma função g(x). Para selecionar esta função g(x) é necessário satisfazer algumas propriedades. Por fim, a função f(x) é substituída pela g(x).

A alteração da função f(x) pela g(x) ocorre em algumas condições como quando: é conhecida na sua forma analítica, mas operações como a diferenciação e a integração são difíceis e podem ser até impossível de serem efetuadas. Ou quando os valores numéricos da função são conhecidos em um conjunto de pontos e é imprescindível calcular o valor da função em um ponto não determinado ou tabelado.

2. DEFINIÇÕES DE INTERPOLAÇÃO

Observa-se  pontos distintos: , que são chamados de nós da interpolação. Os valores de f(x) nesses pontos são: [pic 2][pic 3][pic 4]

O procedimento de interpolação da função f(x) que será demonstrado a seguir esta baseado em se obter uma determinada função g(x) em que:; ; ... . [pic 5][pic 6][pic 7][pic 8]

É possível ressaltar que nos nós da interpolação as funções f(x) e g(x) assumem valores iguais. E ainda percebe-se que no gráfico da figura1, indicado pelas setas, temos nós=n=3, que resulta em 4 pontos:

[pic 9][pic 10][pic 11]

Figura1: gráfico da interpolação da  f(x) pela função g(x), em que n=3 tem-se 4 pontos.

Fonte: Elaborado pelos autores.

3. INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL

Obtidos os pontos (()), (()),..., (()), portanto  pontos, objetiva-se aproximar a função f(x) por um polinômio (x) de grau menor ou igual a , tal que:   . Conforme se observa no gráfico da figura2:[pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22]

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Figura2: Aproximação da função f(x) por um polinômio (x).[pic 24]

Fonte: procurar.

Representaremos  por: .[pic 25][pic 26]

Portanto, obter  significa obter os coeficientes Da condição 0,1,2,...,n montamos o seguinte sistema linear:[pic 27][pic 28][pic 29]

[pic 30]

Com  e  variáveis: . [pic 31][pic 32][pic 33]

Na notação matricial temos V x a = f, onde:

V           a     e      f [pic 34][pic 35][pic 36]

A matriz V é uma matriz de Vandermonde e, portanto desde que  sejam pontos distintos temos det (V)=0. Logo, o sistema acima admite uma única solução. A matriz coluna a é a matriz das incógnitas e a matriz coluna f é a das constantes f(xi) = yi.[pic 37]

Desde modo é possível demonstrar o seguinte teorema em que: Existe um único polinômio , de grau  tal que:  desde que .[pic 38][pic 39][pic 40][pic 41]

Assim nota-se que o polinômio  que interpola f(x) em,  é único. Porém, há várias maneiras para obter este polinômio. Uma das abordagens é a resolução do sistema linear obtido anteriormente. Outras formas como Lagrange e de Newton serão apresentadas posteriormente. As três formas acarretam ao mesmo polinômio e a escolha entre esses métodos dependerá da estabilidade do sistema linear ou/e do tempo computacional dentre outras variantes.[pic 42][pic 43]