AS COORDENADAS CILÍNDRICAS

COORDENADAS CILÍNDRICAS

Os cálculos utilizando coordenadas cilíndricas no contexto da cinemática de uma partícula é utilizado para o cálculo da velocidade e aceleração de uma partícula e considera suas coordenadas em função do tempo, onde suas componentes possuem direções associadas com as coordenadas cilíndricas da partícula.

Desta forma a partícula P representada na figura 1.1, pode ser localizada por meio da especificação de suas coordenadas cilíndricas, 𝜃, r, e z.² as equações de transformação entre coordenadas cartesianas e cilíndricas podem ser vistas a seguir:

x = r . cos𝜃 r = (x²+y²)¹/²

y=r . sen𝜃 𝜃= tan-¹ y/x

figura 1.1 coordenadas cilíndricas

onde:

ϵz Que é paralelo ao eixo Z e, por razões práticas, é 0 mesmo que k. Esse vetor indica a direção axial.

ϵr que é normal ao eixo Z, partindo desse eixo, e identifica a direção radial a partir de Z.

ϵ𝜃, que é normal ao plano formado por € Z e €; e possui direção definida pela regra da mão direita para a permutação Z, r e 0. Essa é a direção transversal.

Observe que ϵr; ϵ𝜃 e mudam de direção à medida que a partícula se move em relação ao, sistema xyz. Como consequência disso, esses vetores são geralmente funções do tempo, enquanto ϵz , é um vetor constante.

A velocidade e a aceleração da partícula em relação à referência xyz podem ser expressas em termos das componentes nas direções transversal, radial e axial, e as coordenadas cilíndricas podem ser empregadas exclusivamente nessa tarefa.

Este método pode ser aplicado por exemplo, no estudo de turbomáquinas (tais como bombas centrífugas, compressores, turbinas a jato, etc.), onde, se 0 eixo Z é tomado como eixo de rotação, as componentes axiais da aceleração do fluido são empregadas para o cálculo do empuxo, enquanto as componentes transversais são importantes na análise do torque.

Essas componentes têm significado físico nos cálculos, O que não acontece com as componentes paralelas à referência xyz·

O vetor posição r da partícula determina a direção dos vetores unitários ϵr e ϵ𝜃 em qualquer instante de tempo e pode ser descrito como:

Para obter a velocidade desejada, efetua-se a diferenciação de r em relação ao tempo:

Neste caso a tarefa e determinar ϵr . Observando a figura 1.2 pode-se perceber que as mudanças de direção ϵr ocorrem somente quando a coordenada 𝜃 da partícula varia. Consequentemente lembrando que o módulo de ϵr é sempre constante tem-se utilizando a regra da cadeia para ϵr.

Figura 1.2 : variação do vetor unitário ϵr.

Para a determinação de dϵr / d𝜃 figura mostra o vetor ϵr para um lado para um dado r e z nas posições correspondentes a 𝜃 e (𝜃+∆𝜃).

Na figura 1.2 , pode -se observar