AS SEQUÊNCIAS E SÉRIES

SEQÜÊNCIAS E SÉRIES

1. CÁLCULO SOMATÓRIO

 

Consideremos a seguinte soma indicada : 0 + 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + ... + 100. Podemos observar que cada parcela é um número par e portanto pode ser representada pela forma 2n, neste caso, com n 50

variando de 0 a 50. Esta soma pode ser representada abreviadamente por: ∑2.n , que se lê: “somatório de 2n

n=0 com n variando de 0 a 50”. A letra grega ∑ que é o esse maiúsculo grego (sigma) é denominada sinal de somatório e é usada para indicar uma soma de várias parcelas.

 

n Seja {a1, a2, a3, ..., an} um conjunto de n números reais, o símbolo ∑ ai representa a sua soma, isto i=1 n é, ∑ ai = a1 + a2 + a3 + ... + a n.   i=1

n

Em ∑ ai a letra i é denominada índice do somatório (em seu lugar, pode figurar qualquer outra

i=1

letra) e s valores 1 e n, neste caso, são denominados, respectivamente, limites inferior e superior.  

 

E1)Desenvolva os seguintes somatórios:

        5        ∞        5

      1) ∑ (x2 − x)                                       2) ∑ (−1) j.j                                3) ∑n!an 

        x=1        j=2        n=0

E2)Escreva sob a forma de somatório as seguintes expressões:

      1) 1 – 3 + 5 – 7 + ...                     2) 1+[pic 1]+[pic 2]+[pic 3]+[pic 4]                    3) [pic 5]+[pic 6]+[pic 7]+[pic 8]+ ... +[pic 9] 

E3)Calcule o valor de:

      1) ∑(−1) .n!                               2) ∑i2 −∑5 i2 5[pic 10]

        n=0         i=0         i=0

 

1.1. NÚMERO DE PARCELAS DO SOMATÓRIO

 

        n        n

Se ∑ai =a p +a p+1 ++an , então ∑ ai tem ( n – p + 1 ) parcelas. i=p        i=p

100

E4) Destaque a parcela central e a décima parcela de ∑(−1)n.3n .  

n=0

 

1.2. PROPRIEDADES DO SOMATÓRIO

 

1. Somatório de uma constante

Sejam ai  = k, com i = p,...,n.

n[pic 11] k = (n −p +1).k  i=p

1. n

∑k =∑ai =a p + ap+1 ++ a n = k + k ++ k = (n − p +1)k    ⇒      i=p        i=p

1. Somatório do produto de uma constante por uma variável Sejam ka i, com i = p,...,n.

n        n ∑ ka i = k∑ai  i=p        i=p

1. n

 ∑ kai =ka p + ka p+1 ++ ka n = k(ap + ap+1 ++ an ) = k∑a i    ⇒     

        i=p        i=p

 

1. Somatório de uma soma algébrica Sejam ai ± bi, com i = p,...,n.

n

∑

(ai ± bi ) =(ap ± bp ) + (ap+1 ± bp+1) ++ (an ± bn ) = (a p + a p+1 ++ a n ) ± (bp + bp+1 ++ bn )

i=p

n        n        n ∑(ai ± bi ) =∑a i ±∑bi  i=p        i=p        i=p

        n        n

=∑a i ±∑bi    ⇒     

        i=p        i=p