ATPS Calculo II Etapa 1 Passo 1_2

Apresentação

Esta parte do trabalho tem por objetivo mostrar o conceito de derivadas e uma das suas várias aplicações.

Com este documento iremos apresentar o conceito de velocidade instantânea a partir do limite, comparação da fórmula aplicada na física com a fórmula usada em cálculo, exemplo de derivação utilizando tabela e gráficos para visualização. Também mostraremos um breve resumo de uma pesquisa sobre o número de Euler, a relação de séries harmônica com o numero de Euler.

Este trabalho visa o estudo, bem como a metodologia utilizada, de derivadas, limites e a constante de Euler.

ETAPA 1

Passo 1

- Pesquisar o conceito de velocidade instantânea a partir do limite, com ∆t →0.

- Velocidade instantânea

Existem diversas maneiras de descrever o quanto velozmente um corpo se move usando: velocidade média e velocidade escalar média, ambas medidas sobre um intervalo de tempo Δt.

A velocidade em qualquer instante de tempo é obtida a partir da velocidade média reduzindo-se o intervalo de tempo Δt, fazendo-o tender a zero. À medida que Δt é reduzido, a velocidade média se aproxima de um valor limite, que é a velocidade naquele instante:

v=lim∆t→0∆x∆t= dxdt

Esta equação mostra duas características da velocidade instantânea v. Primeiro v é a taxa na qual a posição da partícula x está em relação à t. Segundo, v em qualquer instante é a inclinação da curva (ou coeficiente angular da reta tangente á curva) posição-tempo da partícula no ponto representando esse instante. A velocidade é outra grandeza vetorial, e assim possui direção e sentido associados.

- Comparar a fórmula aplicada na física com a fórmula usada em cálculo e explicar o

significado da função v (velocidade instantânea), a partir da função s (espaço), utilizando o

conceito da derivada que você aprendeu em cálculo, mostrando que a função velocidade é a

derivada da função espaço.

No cálculo, a velocidade instantânea é o número a que tendem as velocidades médias quando o intervalo reduz de tamanho, isto é, quando h torna-se cada vez menor. Definimos então, velocidade instantânea = Limite, quando h tende a zero, de sa+h-s(a)h.

Isso é escrito de forma mais compacta usando a notação de limite, da seguinte maneira:

Seja s(t) a posição no instante t. Então, a velocidade instantânea em t = a é definida como:

velocidade instantânea em t=a= limh→0sa+h-s(a)h

Em palavras, a velocidade instantânea de um objeto em um instante t = a é dada pelo limite da velocidade média em um intervalo quando esse intervalo reduz em torno de a.

As equações utilizadas tanto em física como em calculo seguem a mesma lógica, sendo que em física utilizamos a derivada para descrever a posição da partícula dado sua posição em relação ao seu tempo expressada por dx (t)dt t=t0 em que dx e a denotação da função posição ou espaço e t a denotação da função tempo.

- Dar um exemplo, mostrando a função velocidade como derivada da função do espaço,

utilizando no seu exemplo a aceleração como sendo a somatória do último algarismo que

compõe o RA dos alunos integrantes do grupo.

RA: 5+5+7+7+9 = 33

Exemplo: y = 16,5t² - 5t no tempo em 3 segundos.

v= dxdt 16,5t² - 5t

Derivando posição em relação ao tempo: v = 2.16,5t² ˉ ¹ - 1.5t¹ ˉ ¹ → v’ = 33t - 5

Aplicando no tempo igual a 3 segundos: v = 33.3 - 5 → v = 94 m/s

Derivando velocidade em relação ao tempo: a = dvdt 33t - 5 → a= 1.33t¹ ˉ ¹ → a’’ = 33 m/s²

A aceleração não varia em nenhum instante.

Passo 2

Montar uma tabela, usando seu exemplo acima, com os cálculos e plote num gráfico as

funções S(m) x t(s) e V(m/s) x t(s) para um intervalo entre 0 a 5s, diga que tipo de função

você tem e calcular a variação do espaço percorrido e a variação de velocidade para o

intervalo dado.

Calcular a área formada pela função da velocidade, para o intervalo dado acima.

TEMPO S(m)

y = 16,5t² - 5t S(m) x t(s)

dydt = 33t - 5 V(m/s) x t(s)

dvdt = 33

0 0 m -5 m/s 33 m/s²

1 11,5 m 28 m/s 33 m/s²

2 56 m 61 m/s 33 m/s²

3 133,5 m 94 m/s 33 m/s²

4 244 m 127 m/s 33 m/s²

5 387,5 m 160 m/s 33 m/s²

Gráfico 1 y = 16,5t² - 5t

Função Potencia/Equação do 2º grau Variação espaço percorrido: 387,5 – 0 = 387,5 m

Gráfico 2 dydt = 33t - 5

Função Linear/Equação do 1º grau Variação de velocidade: 160 – (-5) = 165