ATPS: Conceitos e Princípios Gerais de Cálculo Numérico

ETAPA 1

Passo 1: Relatório Capítulo 1 – Conceitos e Princípios Gerais de Cálculo Numérico:

A maioria dos conceitos aqui apresentados são de álgebra linear e isso se deve ao fato de que os resultados, em gerais, e da teoria dos espaços vetoriais, em particular, na análise numérica e tão grande, que estudo pormenorizado desses assuntos cada vez mais se justiça. Assim maiores detalhes sobre os assuntos aqui abordados podem ser encontrados em livros de álgebra linear. Para iniciar vamos examinar dois conjuntos que certamente já são conhecidos do leitor. O primeiro e o conjunto dos vetores da geometria, denodos através de segmentos orientados, e o outro e o conjunto das matrizes reais m × n. À primeira vista pode parecer que tais conjuntos não possuem nada em comum. Mas não e bem assim conforme mostraremos a seguir. No conjunto dos vetores está deicida uma adição dotada das propriedades comutativa, associativa, além da existência do elemento neutro e do oposto. Além disso, podemos multiplicar um vetor por um número real. Essa multiplicação tem as seguintes propriedades:

α(u+v)=αu+αv

(α+β)u=αu+βu

(αβ)u=(αβu)

1*u=u

Mudança de Base

Mudança de base em um espaço vetorial bidimensional, e a seguir, em um espaço de dimensão n.

a) Seja E = IR2. Sejam B1 = {e1, e2} uma base de E e v ∈ Ea22

Então v se exprime de maneira única como combinação linear dos elementos de B1, isto é, existem escalares v1, v2 (elementos de K) tais que:

v = v1 e1 + v2 e2 ,

Onde os escalares v1, v2 são as coordenadas de v na base B1.

Seja B0 1 = {e0 1, e0 2}, uma outra base de E. Analogamente, podemos escrever:

v = v0 1 e0 1 + v0 2 e0 2

O sistema, possui sempre uma e uma só solução v^' 1,〖 v〗^' 2, pelo fato de B1 e B’1 serem bases de E. Então, conhecidas, na base antiga, as coordenadas v1,v2 de v e as coordenadas de cada um dos vetores e’1e’2, na base antiga, podemos determinar as coordenadas v0 1,v0 2 de v na base nova usando (1.4). Sendo A não singular, (det(A) 6= 0), existe a inversa A−1 de A. Assim, ré-multiplicando (1.5) por A−1, obtemos:

v^'=A^(-1) v

Espaço Vetorial Euclidiano

Podemos definir que as importantes noções de produto escalar e de ortogonalidade, visando introduzir, entre outras coisas o conceito de comprimento e distância.

Produto Escalar

Seja E um espaço vetorial real. Sejam x, y elementos de E.

Chama-se produto escalar de x por y, em símbolo, (x, y), qualquer função definida em E × E com valores em IR satisfazendo as seguintes propriedades:

P1) (x,y) = (y,x),∀x,y ∈ E

P2) (x + y,z) = (x,z) + (y,z),∀x,y,z ∈ E

P3) (λx,y) = λ(x,y),∀λ ∈ IR,∀x,y ∈ E

P4) (x,x)≥ 0 e (x,x)= 0 se e somente se x = θ (nulo).

Um espaço vetorial real E, onde está definido um produto escalar é chamado espaço euclidiano real.

Espaço Vetorial Normado

Definimos agora importantes dentições de norma de vetor e de matriz. Com isso estaremos aptos a definir, quando oportuno, as noções de limite de uma sequencial de vetores ou de matrizes, de grande utilidade, entre outros, no estudo de convergência de m´métodos iterativos de solução de sistemas lineares e do problema de erros de arredondamento nos processos de cálculo onde intervêm matrizes ou vetores.

Norma de Vetor

Chama-se norma de um vetor x, em símbolo, k x k, qualquer função definida num espaço vetorial E, com valores em IR, satisfazendo as seguintes condições:

N1) k x k ≥ 0 e k x k = 0 se e somente se x = θ, N2) k λ x k = |λ| k x k para todo escalar λ N3) k x + y k ≤ k x k + k y k (desigualdade triangular).

Um espaço vetorial E, onde está definida uma norma e chamado espaço vetorial normado.

Processo de Gram-Schmidt

Em diversos problemas relacionados com espaço vetorial, a escolha de uma base para o espaço cá a critério da pessoa que se propôs a resolver o problema. É claro que sempre a melhor estratégia será escolher a base que melhor implique os cálculos. Em espaços euclidianos, tem-se muitas vezes o caso em que a melhor escolha da base é aquela onde todos os seus vetores são mutuamente ortogonais. Vimos anteriormente que uma sequencial ortogonal de vetores é sempre linearmente independente. Vamos agora mostrar que é sempre possível construir, a partir de uma sequencial de vetores linearmente independentes {f1,f2,...,fn}, uma sequencial ortogonal {e1,e2,...,en}.

Projeção Ortogonal

Veremos aqui a projeção ortogonal de um