Conceitos e Princípios Gerais de Cálculo Numérico

1 – Conceitos e Princípios Gerais de Cálculo Numérico

A maioria dos conceitos são de álgebra linear e isso se deve ao fato de que os resultados da álgebra linear, em geral, e da teoria dos espaços vetoriais, em particular, na análise numérica e tão grande, que estudo pormenorizado desses assuntos cada vez mais se justifica. Assim maiores detalhes desses assuntos são abordados em álgebra linear.

Espaço Vetorial

A noção comum de vetores como objetos com tamanho, direção e sentido, juntamente com as operações de adição e multiplicação por números reais forma a ideia básica de um espaço vetorial. Deste ponto de partida então, para definir um espaço vetorial, precisa de um conjunto de elementos e duas operações definidas sobre os elementos deste conjunto, adição e multiplicação por números reais. Não é necessário que os vetores tenham interpretação geométrica, mas podem ser quaisquer objetos que satisfaçam os axiomas.

• Propriedades:

i) (u + v) + w = u + (v + w)

ii) u + v = v + u

iii) existe 0 ∈ V tal que u + 0 = u

• 0 é o vetor nulo

iv) Existe –u ∈ V tal que u + (-u) = 0

v) a(u + v) = au + av, a escalar

vi) (a + b)v = av + bv, a, b escalares

vii) (ab)v = a(bv)

viii) 1.u = u

Exemplo: V = M (2, 2) é o conjunto de matrizes 2x2

V é um espaço vetorial

• Todas as propriedades anteriores são satisfeitas se a adição é entendida como a adição de matrizes

Axioma 1: (u + v) + w = u + (v + w)

Dependência e Independência Linear

• Definição: Sejam V um espaço vetorial e v1, v2, ..., vn ∈V. Dizemos que o conjunto {v1, v2, .., vn} é linearmente independente (LI), ou que o vetores v1, v2, ..., vn são LI se a equação:

 a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0

Implica que a1 = a2 = .... = an = 0

 {v1,v2, ...,vn} é LD se, e somente se, um destes vetores for combinação linear dos outros.

• Se algum ai ≠ 0, dizemos que {v1,v2, ...,vn} é linearmente dependente (LD) ou que os vetores v1,v2, ...,vn são LD

• Exemplo 1: V = R2, e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1)

• e1 e e2 são LI, pois

 a1.e1 + a2.e2 = 0

 a1.(1, 0) + a2.(0, 1) = 0

 (a1, a2) = (0, 0)

 a = 0 e a = 0

 a1 = 0 e a2 = 0

• Exemplo 2: De modo análogo, para V =R3, e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0) e e3 = (0, 0, 1) são LI

• Exemplo 3: V = R2

 {(1, -1), (1, 0), (1, 1)} é