Apostilia mecanica geral

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Curso de Engenharia de Produção

2015

ATPS: Cálculo Numérico

-Relatório 4- Sistemas Numéricos de Sistema de Equação Lineares – parte 2.

-Relatório 4 -

Atividade da disciplina de Cálculo Numérico da universidade Anhanguera Unidade II de Campo Grande – MS, apresentada como parte da avaliação na referida disciplina do curso de Engenharia De Produção. Sobre a orientação da professora Sibelis.

Campo Grande – M/S

Março de 2015.

Introdução

        Foi desenvolvido um relatório com o intuito de desenvolver a aplicação da teoria na solução de situações que simulam a realidade, aplicando conhecimentos matemáticos, cientificos, tecnologicos e instrumentais à Engenharia.

Relatório 4- Sistemas Numéricos de Sistema de Equação Linear

Conceitos de Solução de sistemas Lineares: Método direto (exato) e Método interativo.

Método direto

Métodos Diretos São métodos que produzem a solução exata de um sistema, a menos de erros de arredondamento, depois de um número finito de operações aritméticas. Com esses métodos é possível determinar, a priori, o tempo máximo gasto para resolver um sistema, uma vez que sua complexidade é conhecida. A clássica Regra de Cramer, ensinada no ensino médio, é um método direto. Entretanto, pode-se mostrar que o número máximo de operações aritméticas envolvidas na resolução de um sistema n × n por este método é (n + 1)(n!n − 1) + n. Assim, um computador que efetua uma operação aritmética em 10−8 segundos gastaria cerca de 36 dias para resolver um sistema de ordem n = 15. A complexidade exponencial desse algoritmo inviabiliza sua utilização em casos práticos. O estudo de métodos mais eficientes torna-se, portanto, necessário, uma vez que, em geral, os casos práticos exigem a resolução de sistemas lineares de porte mais elevado

Método interativo

Trata-se de métodos nos quais a solução x¯ de um sistema linear Ax = b é obtida como limite de uma sequência de aproximações sucessivas x0 , x1 , x2 , · · · , xk , · · · , sendo dada uma aproximação inicial x0, isto é:

  xk [pic 3]

1. Desafio A

        2       1        3         0

Dada a Matriz  A=      2       2       5         1

                                      2       1       4         0

                                      1       1      3,5     2,5

                      1          0        0         1

1. A matriz  L é :            2          1         0        1

                                                   1          0         1        0

                                                  0,5       0,5       1        1

 

                                                   2          1        3        0

1. A matriz  U é :           0          1        2        1

                                                   0          0        1        0

                                                   0          0        0        2

Estão corretas.

1. Desafio B

Considere o sistema:

1.                                                                         B.

4x1 – x2+x3=8                                                                  x1 + x2 +x3 +x4=2

2x1 +5 x2+2x3=3                                                         2x1 + x2 - x3 +x4=1

x1 +2x2+4x3=11                                                          - x1 + x2 +3x3 -x4=4

                                                                                     3x1 – x2 - x3+3x4=-3

Cálculos

1. Sistema.        

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Da equação 3 do sistema  obtemos a variável x3:

69/22×x3=207/22, x3=3

Da equação 2 do sistema  obtemos a variável x2:

11/2×x2=−3/2×x3−1, 11/2×x2=−3/2×3−1, x2=−1

Da equação 1 do sistema obtemos a variável x1: