As Funções de Uma Variável

Derivada e Regras de Derivação

Funções de Uma Variável

1 —Para as seguintes funções calcule a derivadano ponto indicado através do limite do quocientede Newton:f′(a) =limh→0f(a+h) −f(a)h

a) derivada de f(x) =x2+1no ponto a=1

b) derivada de f(x) =3x3−x no ponto a=2

c) derivada def(x) =√xno pontoa=4

d) derivada def(x) =3√xno pontoa=8

e) derivada def(x) =1xno pontoa= −1

2 —Mostre que não existe a derivada de g(x) =|x| em x=0. Calcule a derivada para x6=0.

3 —Mostre a partir da definição de derivada que

a)ddxcos(x) = −sen(x).

b)ddxsen(x) =cos(x).

4 —Prove quea)ddx(cossec(x)) = −cossec(x)cotg(x)b)ddx(sec(x)) =sec(x)tg(x)

5 —Escreva a equação da reta tangente as curvasy=f(x)no ponto especificado. Esboce o gráficodef(x)e da reta tangente.

a)y=x3no pontox=3

b)y=2xno pontox=2

c)y=cos(x) +x2no pontox=0

d)y=1x−1no ponto(−1,−12)

e)y=sen(x)no pontox=π

6 —Encontre as derivadas das seguintes funções:

a)f(x) =x7+6x6+15x5+x4+3x3+x2+π

b)f(x) =axm+bxm+n

c)f(x) =πx2+ln(4)x+√5x+ln(7)

d)f(x) =25x−3−1x

e)f(x) =xa2+xa+42+axa−1

f)f(x) =a3√x2−bx3√x2

g)f(x) =5 sen(x) +6 cos(x)

h)f(x) = sen(x) +cos(x)sen(x) −cos(x)

i)f(x) = x7ex

j)f(x) = exx2

k)f(x) = excos(x)

l)f(x) = xnln(x)

m)f(x) = x3ln(x) −x33

n)f(x) = tg(x) −cotg(x)

o)f(x) = xcotg(x)

p)f(x) = (x−2)sen(x) +x2tg(x) +sen(x)cos(x)

7 —Quantas retas tangentes a curvay=xx+1passam pelo ponto(1, 2). Em quais pontos essas retas tangentes tocam a curva?

8 —Em que ponto a tangente a parábolay=x2−7x+3é paralela a reta5x+y−3=0.

9 —Achar a equação da tangente e da normal a curva y=x3+2x2−4x−3 no ponto(1,−4).

10 —Dado f(x) =13x3−2x2+3x+1. Encontre os pontos do gráfico de f nos quais a tangente é horizontal.

11 —Dado o polinômio p(x) =ax3+bx2+cx+d. Determine a,b,c,d se p(0) =p(1) = −2p′(0) =−1ep′′(0) =10.

12 —Seja f a função definida como:f(x) ={sen(x)sex6cax+bsex > c Ache os