As Propriedades de Reflexão de Secções Cônicas

Universidade de Brasília

Instituto de Ciências Exatas

Departamento de Matemática

Marcos Fernando da Cruz

Propriedades de Reflexão de Secções Cônicas

Brasília

2010

Universidade de Brasília

Marcos Fernando da Cruz

Propriedades de Reflexão de Secções Cônicas

Monografia apresentada como requisito para a conclusão do 3º Curso de Especialização “Matemática para Professores” do Departamento de Matemática da Universidade de Brasília.

Orientador: Roberto Oscar Gandulfo

Brasília

2010

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO                                                                        6

1. COORDENADAS POLARES E CURVAS NO PLANO                        7

1.1 Secções Cônicas                                                                7

1.2 Sistema de Coordenadas Polares: Definição                                8

1.3 Aplicações                                                                        8

2. SECÇÕES CÔNICAS E SUAS PROPRIEDADES                        10

3. GENERALIZAÇÃO DAS PROPRIEDADES DE REFLEXÃO                13

3.1. Curvas Candidatos às Propriedades de Reflexão.                        17

3.2. Existência da Propriedade de Reflexão nas Curvas Candidatas        28

4. CONSIDERAÇÕES FINAIS                                                        32

REFERÊNCIAS                                                                        33

                                                

AGRADECIMENTOS

Agradeço primeiramente a Deus, pelo Dom da Vida.

A minha Mãe e de Nosso Senhor Jesus Cristo, Virgem Maria pelas interseções.

A minha esposa Núbia e meus filhos, Camila, Gabriel e Geovana que suportaram minhas ausências devido aos estudos, principalmente á minha amada esposa que, além disso, me incentivou nos momentos mais difíceis desta caminhada.

Ao amigo e colega de trabalho, Augusto Mauro, que me ajudou de forma direta e efetiva para que eu concluísse este curso.

Aos meus pais Conrado e Clarice, exemplo, respeito, carinho, compreensão e paciência que sempre me dedicaram.

Aos meus irmãos, que tanto quero bem.

Ao Professor Gandulfo, que teve paciência e compreensão em me orientar me dando ferramentas e bases para concluir este trabalho, e a conseguir concluir o curso.

Aos meus professores, que tiveram paciência, e dedicaram seu tempo a passar-me um pouco das riquezas que têm.

Aos colegas do curso, que me auxiliaram por diversas vezes e me incentivaram a não desanimar com as dificuldades da caminhada, principalmente ao Sandro Silva que dividiu as dificuldades até nas viagens constantes à Brasília.

RESUMO

Apresento este trabalho como uma busca para um melhor entendimento sobre as Propriedades de Reflexão de Curvas e Superfícies de secções cônicas e algumas de suas aplicações. A base motivadora a este trabalho, por sua vez, são as propriedades de reflexão de parábolas, elipses e hipérboles, que são bem conhecidas e têm várias aplicações práticas. A base cientifica é referente ao artigo sobre as propriedades de reflexão das secções cônicas de Drucker, 1992.

INTRODUÇÃO

        

                Segundo Drucker, 1992, as questões mais interessantes sobre estas propriedades são: o que significa, em geral, uma curva ter uma propriedade de reflexão? Quais curvas possuem? Conforme seus estudos, as respostas a estas questões obtidas através de resultados de provas, mostram que as secções cônicas são especiais, incluindo nas provas uma demonstração das propriedades de reflexão de parábolas, elipses e hipérboles de uma forma generalizada, não sendo usadas demonstrações caso a caso.

        Portanto, abordaremos inicialmente as propriedades de reflexão das secções cônicas, e depois a prova para as aplicações destas propriedades.

        Este trabalho objetiva um melhor entendimento do assunto e também uma analise das demonstrações matemáticas de Drucker em quase sua totalidade.

        O interesse primeiro em desenvolver este tema originou-se de minha fascinação pelo efeito acústico em igrejas cuja base de sua nave, tem uma arquitetura em formato geométrico elíptico, principalmente as igrejas antigas Católicas e Ortodoxas, que reservam a colocação do coral na parte de trás da igreja acima do portal de entrada tendo uma base elíptica, distribuindo o som do coral a toda nave de forma mais perfeita em termos de qualidade do que se fossem usadas caixas acústicas. Sem dúvida também é de grande interesse aos que estudam matemática, engenharias, física, etc.

        Tenho a expectativa de que este trabalho sirva de fonte para estudantes, tanto na matemática quanto nas engenharias e outras áreas afins, que utilizam em suas pesquisas ou estudo para maior compreensão do assunto.

1. COORDENADAS POLARES E CURVAS NO PLANO.

        Segundo C. H. Edwards, Jr, Pierre de Fermat exemplificou e distinguiu tradições de grandes amadores da matemática. Gostava do contemporâneo René Descartes, e estudava suas idéias. Mas diferentemente de Descartes, Fermat atuava praticamente em outra profissão e servia o parlamento regional, dedicando-se somente em seu tempo livre ao estudo das matemáticas e manuscritos antigos.