As Questões Diversas

Quest˜ao  1 - Considere a matriz do produto interno[pic 1]

M =        2  1

1   4

e uma reta dada parametricamente por t → (1 + 2t, 1 − t)t.  Qual o ponto da reta mais pr´oximo da origem, na distˆancia definida pelo produto interno associado a matriz M?

Resposta:

O produto interno associado a matriz M entre dois vetores u e v, denotado por < u, v >M

pode ser obtido ao realizar a opera¸c˜ao utM v, dese modo:

< u, v >M

---

= utM v = h u1

---

u i " 2  1 # " v1 #

= h u1        u2[pic 2][pic 3][pic 4]

---

1   4        v2

2v1 + v2

v1 + 4v2

= (2v1 + v2)u1 + (v1 + 4v2)

= 2v1u1 + v2u1 + u2v1 + 4v2u2        (1)

O  comprimento  de  um  vetor  ´e  dado  por  sua  norma,  que  ´e  definida  como  a  raiz  quadrada do  produto  interno  de  um  vetor  por  ele  mesmo.   Ent˜ao,  seja  um  vetor  u  e  o  produto  interno definido por M , sua norma ser´a:

1[pic 5]

||u||M = (< u, u >M )2        (2)

Agora,  imagine  a  reta  como  o  conjunto  de  pontos  dados  pela  equa¸c˜ao  param´etrica  em  que cada ponto ´e um vetor que sai da origem, como exemplificado na Figura 1.  Desejamos encontrar o  ponto  que  est´a  mais  pr´oximo  da  origem,  ou  seja,  qual  dos  vetores  da  equa¸c˜ao  param´etrica tem o tamanho m´ınimo poss´ıvel.

Este ´e um problema de otimiza¸c˜ao em que se deseja minimizar a norma dada pela eq.  (2).

Assim, combinando as eqs. (1) e (2), tem-se:

2        2

||u||M = 2u1u1 + u2u1 + u2u1 + 4u2u2 = 2u1 + 2u1u2 + 4u2        (3)

Da equa¸c˜ao param´etrica da reta, u1 = 1 + 2t e u2 = 1 − t, substituindo na eq.  (3),

[pic 6]

Figura 1: Reta t → (1 + 2t, 1 − t)t e alguns pontos

2        2  1[pic 7]

||u||M = (2(1 + 2t)  + 2(1 + 2t)(1 − t) + 4(1 − t) )2

= (2(1 + 4t + 4t2) + 2(1 − t + 2t − 2t2) + 4(1 − 2t + t2))1[pic 8][pic 9]

= (2 + 8t + 8t2 + 2 + 2t − 4t2 + 4 − 8t + 4t2)1[pic 10][pic 11]

= (8t2 + 2t + 8) 1[pic 12][pic 13]

Obt´em-se, ent˜ao, uma express˜ao para a distˆancia da origem at´e a reta.  Minimizando, tem-se

min||u||M

---

= d||u||M = 0

dt

d(8t2 + 2t + 8) 1[pic 14][pic 15]

=        = 0[pic 16]

dt

1[pic 17][pic 18]

=                (8t2 2[pic 19]

---

+ 2t + 8)

---

— 2 (16t + 2) = 0

1        (16t + 2)

=[pic 20]

---

1 = 0

[pic 21]

2 (8t2 + 2t + 8) 2

1[pic 22]

Como o denominador n˜ao pode ser nulo, tem-se que 16t + 2 = 0, portanto t =        .  Substi-[pic 23]