As Series De Funções

Introdução

O trabalho, aborda assuntos inerentes a desenvolvimento de séries de funções numa primeira fase e de seguida passo a detalhar de uma forma sumárica sobre os critérios de convergência destas séries.

No decorrer do desenvolvimento deste, também aborda-se sobre o raio e intervalo de convergência do tema já acima epigrafado.

E por fim, falasse das séries de Taylor que são ferramentas frequentemente utilizadas em áreas como a análise matemática e Numérica. Expressar funções como a soma de termos infinitos é uma estratégia muito útil.

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Séries de funções

Para uma dada sucessão de funções definidas em   podemos definir Séries de funções de termo geral   como o par ordenado  de sucessões de funções, onde,  é a sucessão das somas parciais calculadas para cada  n € N, por  [pic 1][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]

Se existe o limite (pontual ou uniforme) da sucessão , Dizemos que a série é convergente a esse limite chamamos soma da série, .[pic 8][pic 9]

• Uma série converge pontualmente em D quando a sucessão Sn converge pontualmente em D.
• Uma série converge uniformemente em D quando a sucessão Sn converge uniformemente em D.
• Uma  série converge absolutamente se a série  converge pontualmente.[pic 10]

Tal como nas séries numéricas, a natureza de uma série de funções, não depende dos seus primeiros termos.

Quatro questões para as quais a convergência pontual de séries não garante resposta afirmativa:

1. Seja a R  um ponto de acumulação de D. Se para cada n N  o   Existir e for finito, então será que também existe e é finito o limite da soma  ??? e neste caso, será que ???[pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15]
2. Se para cada n N a função  for continua em  será que a função soma f também é continua em  ??? [pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20]
3. Se para cada n N a função  for diferenciável  , será que a função soma f também é diferenciável em  ??? e nesse caso, será que,  =   ???[pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 27]
4. Seja D = [a,b] com a < b. se para cada n N a função for integrável em [a,b], será que a função soma f também é integrável em [a,b]??? e nesse caso, será que,[pic 28][pic 29]

  ???[pic 30]

Se uma série converge pontualmente em D para uma função f isso significa que, para cada concretização  ,  = , ou seja,  = .[pic 31][pic 32][pic 33][pic 34][pic 35][pic 36]

Portanto, a convergência pontual de uma série é equivalente à convergência de todas as séries numéricas correspondentes a cada concretização  [pic 37][pic 38]

• Analisemos a série de funções, definidas em R,

 [pic 39]

• Para  a série tem soma 1.[pic 40]
• Para  é uma série geométrica de razão , pelo que:[pic 41][pic 42]

Para  é divergente, e[pic 43]

Para  é convergente e tem soma .[pic 44][pic 45]

• Portanto, apenas para os valores  a série de funções converge pontualmente para a função: [pic 46]

[pic 47]

[pic 48]

• E apenas nesse intervalo, [pic 49]
• Chama-se domínio de convergência de uma série de funções,  ao conjunto de pontos  para os quais é convergente a correspondente a série numérica .[pic 50][pic 51][pic 52]
• Consideremos a série de funções, definidas em R,

  Calculando o limite do termo geral,[pic 53]

  [pic 54]

vemos que só existe a possibilidade de ser convergente para .[pic 55]

Para , aplicando o critério de Cauchy[pic 56]

[pic 57]

[pic 58]

 [pic 59]

              = [pic 60]

E a série será absolutamente convergente quando .[pic 61]

Portanto, o Domínio de convergência da série dada é .[pic 62]

Propriedades dos limites para série de funções          

• Sejam  um conjunto, a um ponto de acumulação de D e  uma série de funções definida em D, se a série  converge uniformemente em D para cada  n N , o limite  existe e é finito, então vale que:[pic 63][pic 64][pic 65][pic 66][pic 67]

, ou seja, numa série uniformemente convergente a soma dos limites é igual ao limite das somas.[pic 68]

Propriedade da continuidade para série de funções

• Sejam   um conjunto e  uma série de funções definidas em D.[pic 69][pic 70]

Se a série  converge uniformemente em D, para cada n N a função  é continua em  , então a função f também é continua em [pic 71][pic 72][pic 73][pic 74][pic 75][pic 76]

Séries de potências

Nas séries de funções, temos as séries de potências de  é uma série da forma [pic 77]

[pic 78]

Uma série de potências de é sempre convergente para . De facto, quando , obtemos a série numérica  cuja soma é .[pic 79][pic 80][pic 81][pic 82][pic 83]

Mas será que existem outros valores de x para os quais a série acima é convergente? O teorema seguinte fornece uma resposta a essa pergunta.