As Series numéricas

Sequencias

1. Sequências Numéricas

Os primeiros exemplos de seqüências numéricas que tomamos conhecimento no nosso estudo de Matemática foram as progressões aritméticas (P.A.) e geométricas (P.G.).

Nem sempre teremos seqüências de números que crescem (ou decrescem) pela soma (P.A.) ou produto (P.G.) de uma mesma quantidade.

Definição

Uma seqüência numérica u é uma função definida no conjunto (N) dos Naturais. Para cada natural n ∈ N, temos associado um valor numérico  u(n), usualmente representado por un , chamado de nº termo.

Costumamos representar isto por  { un } = { u1 , u2 , u3 , ... , un , ... } , ou quando não houver dúvidas a respeito dos termos seguintes, { u1 , u2 , u3 , u4 , u5 , u6 ,  ... }.

Exemplos

1.Seja {un} = {[pic 1]} = { 1 ,  1/3 ,  1/6 , 1/10 ,  ... , [pic 2], ... }

O primeiro (1º) termo é u(1) = u1 = [pic 3] =  2/2 = 1

O quarto (4º) termo é u(4) = u4 = [pic 4] =  2/20 = 1/10

2. Sequência Geométrica: {gn} = {1/2n} = { 1/2 , 1/4 , 1/8 ,  1/16, 1/32 , ... }

3. Seja: {dn} = {n/2n} = { 1/2 , 2/4 , 3/8 ,  4/16, 5/32 , ... }

4. Seja {wn} = {1/n2} = { 1 , 1/4 , 1/9 ,  1/16, 1/25 , ... }

5. Sequência Harmônica: {hn} = {1/n} = { 1 , 1/2 , 1/3 , 1/4 ,  1/5 , 1/6 , ... }

6. Sequência “Sem 4”: {Sn} = { 1, 1/2, 1/3, 1/5, 1/6, 1/7,...,1/12, 1/13,1/15, 1/16 , ... }

7. Seja: {An} = {-(-1)n/n} = { 1 , - 1/2 , 1/3 , - 1/4 ,  1/5, - 1/6 , ... }

8. Seja {Un} = {[pic 5]} = { 1/2 ,  2/3 ,  3/4 , 4/5 , 5/6 , ... }

9. Sequência Aritmética: {an} = {5n -17} = { -12 , -7 , -2 ,  3 , 8 , 13 , 18 , ... }

10. Seja {rn} = { 1/2 , - 2/3 ,  3/4 , - 4/5 , 5/6 ,  -6/7 , 7/8 , -8/9 , ... }

11. Seja {Pn} = { - 1 , 2 ,  - 3 , 4 , -5 ,  8 , -7 , 16 , - 9 , 32 , - 11 , 64 , - 13 , 128 , - 15 , 256 , ... }

Convergência

Dizemos que uma sequência {un}  converge (é convergente ) se existir o [pic 6].

Caso contrário, a chamamos de divergente (ou não convergente - diverge)

As primeiras oito sequências acima são convergentes e as demais divergem.

Séries

1. Séries Numéricas

Em várias situações poderemos estar interessados em somar os (infinitos) elementos de uma sequência numérica {un} . Evidentemente, isto só fará sentido, se a sequência convergir para zero, caso contrário estaríamos somando uma infinidade de termos não nulos, que certamente não faria sentido.

 Definição

Seja Sn a soma dos n primeiros termos de uma sequência {un}.

Sn = u1 + u2 + u3 + ... + un = [pic 7] é chamada de Soma Parcial da sequência {un}.

Ao [pic 8],  chamamos de Série infinita e representamos por [pic 9].

Se este limite existir, a série é convergente (converge), caso contrário, é divergente (diverge).

 Exemplos

1. Série Telescópica: {un} = {[pic 10]}. Temos que [pic 11]= 0 e que[pic 12]= 2 

2. Série Geométrica: {gn} = {1/2n}. Também [pic 13]= 0 e que  [pic 14]= 1.

[pic 15]. Este resultado pode ser pensado como a soma de uma PG infinita de razão [pic 16].