Atps Calculo Ii

Sumário:

1. Resumo....................................................................................................................................3

2. Objetivos.................................................................................................................................3

3. Introdução...............................................................................................................................3

4. Cálculos e Resultados.............................................................................................................4

Cálculos e Resultados.................................................................................................................5

Cálculos e Resultados................................................................................................................6

5. Conclusão..............................................................................................................................7

Referência Bibliográfica............................................................................................................8

1. Resumo.

Neste relatório serão apresentados conceitos de derivada e regras de derivação, velocidade instantânea, limite e otimização.

O que é constante de Euler, series harmônicas e conceitos de otimização.

2. Objetivos.

Dentre os conceitos citados acima, serão dados exemplos de derivação de velocidade em função do espaço, de aceleração em função da velocidade, onde cada função será plotada um gráfico.

Será apresentado um resumo sobre o numero irracional “e” conhecido como constante de Euler. Será construída uma tabela com cálculos e resultados e por fim plotando em um gráfico representativo e fazendo uma conclusão a respeito.

Será apresentada uma pesquisa em series ”Harmônica” na musica na matemática e na física e sobre somatória infinita de uma PG.

3. Introdução.

Para a conclusão dos objetivos traçados, os cálculos serão feitos passo a passo, assim podemos chegar a uma conclusão de resultados.

4. Cálculos e Resultados.

A noção de espaço, velocidade e aceleração é intuitiva já que é algo natural a todos. Será apresentado um exercício e com base no enunciado conseguimos obter a função do espaço, mas também será pedida a função da velocidade e aceleração, usando operações matemáticas e regras de derivação básica conseguirão desenvolver o exercício. (A aceleração do exercício abaixo será a somatória do ultimo algarismo que compõe o RA dos alunos integrantes do grupo).

Um projétil é lançado horizontalmente a uma velocidade inicial de 35,5 m/s, de uma altura de 15,5 metros a uma aceleração de 38m/s² (Anderson 9, Douglas 9, José 6, Luiz 6, Murilo 8).

Dê a função do espaço.

(t)=S0+V0t+a/2 t^2

S(t)=15,5+35,5t+19t^2

Gráfico:

Dê a função velocidade.

S(t)=15,5+35,5t+19t^2

lim/(h→0)=(f(a+h)-f(a))/h

lim┬(h→0)⁡〖=(〖(15,5+35,5(t+h)+19(t+h)〗^2)-〖(15,5+35,5t+19t〗^2))/h〗

〖lim┬(h→0)=〗⁡〖(〖(15,5+35,5t+35,5+19(t〗^2 2th+h^2)-(〖15,5+35,5t+19t〗^2))/h〗

〖lim┬(h→0)=〗⁡〖(〖(15,5+35,5+35,5h+19t〗^2+38th+19h^2-15,5-35,5t-19t^2))/h〗

〖lim┬(h→0)=〗⁡〖(〖(35,5h+38th+19h〗^2))/h〗

〖lim┬(h→0)=〗⁡〖h(35,5+38t+19h)/h〗

〖lim┬(h→0)=〗⁡〖35,5+38t+19(0)〗

〖lim┬(h→0)=〗⁡〖35,5+38t〗

Conclusão: Aplicando o limite em função do espaço obtivemos a função da velocidade.

Gráfico:

Com base no conceito de regra da potência. Onde para qualquer número real constante é = n:

d/dx (Kx^n )=n.Kx^(n-1)

Temos que:

V(t)=35,5+38t

Dê a função aceleração.

Com base no mesmo conceito temos que:

V(t)=35,5+38t

lim/(h→0)=(f(a+h)-f(a))/h

a(t)=38t lim┬(h→0)⁡〖=((35,5+38(t+h))-(35,5+38t))/h〗

〖lim┬(h→0)=〗⁡〖(35,5+38t+38h-35,5-38t)/h〗

〖lim┬(h→0)=〗⁡〖38h/h〗

〖lim┬(h→0)=〗⁡38

Gráfico:

5. O que é constante de Euler.

Na matemática, o número de Euler, denominado em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler, é a base dos logaritmos naturais. As variantes do nome do número incluem: número de Napier, constante de Néper, número neperiano, constante matemática, número exponencial etc. A primeira referência à constante foi publicada em 1618 na tabela de um apêndice de um trabalho sobre logaritmos de John Napier. No entanto, este não contém a constante propriamente dita, mas apenas uma simples lista de logaritmos naturais calculados a partir desta. A primeira indicação da constante foi descoberta por Jakob Bernoulli, quando tentava encontrar um valor para a seguinte expressão (muito comum no cálculo de juros compostos):

para , ou seja:

ou ainda, substituindo-se n por

Cujo valor é aproximadamente 2,718 281 828 459 045 235 360 287. (https://pt.wikipedia.org/wiki/Constante_de_Euler-Mascheroni)

Construir uma tabela com os cálculos e resultados aplicados na formula citada acima, utilizando os seguintes valores para n = (1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000, 5000, 10000, 100000, 1000000), esboçar um gráfico representativo e fazer uma conclusão a respeito.

n lim┬(n→∞)⁡〖(1+1/n)^n 〗

1 2

5 2,488320

10 2,593742

50 2,691588

100 2,704814

500 2,715569

1000 2,716924

5000 2,718010

10000 2,718146

100000 2,718268

1000000 2,718280

Gráfico:

Conclusão: Por maior que seja o valor de n, tendera ao infinito e nunca chegará ao número três, caracterizando assim a constante de Euler.

6. Séries harmônicas:

Series harmônica na música e na física:

Em física, série harmônica é o conjunto de ondas composto da freqüência fundamental e de todos os múltiplos inteiros desta freqüência. De forma geral, uma série harmônica é resultado da vibração de algum tipo de oscilador harmônico. Entre estes estão inclusos os pêndulos, corpos rotativos (tais como motores e geradores elétricos) e a maior parte dos corpos produtores de som dos instrumentos musicais. As principais aplicações práticas do estudo das séries harmônicas estão na música e na análise de espectros eletromagnéticos, tais como ondas de rádio e sistemas de corrente alternada. Em matemática, o termo série harmônica refere-se a uma série infinita. Também podem ser utilizadas outras ferramentas de análise matemática para estudar este fenômeno, tais como as transformadas de Fourier e as séries de Fourier. (http://pt.scribd.com/doc/42631184/Serie-Harmonica)

Séries Harmônicas na matemática:

Em matemática, a série harmônica é a série infinita definida como:

O nome harmônico é devido à semelhança com a proporcionalidade dos comprimentos de onda de uma corda a vibrar: 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... (ver série harmônica (música)).

Esta série diverge lentamente. A demonstração (feita originalmente na Idade Média por Nicole d'Oresme1 ) faz-se tendo em conta que a série

é termo a termo maior que ou igual à série

que claramente diverge. (https://pt.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_harm%C3%B4nica_(matem%C3%A1tica)

Passo 3

Com base no trabalho de Thomas Malthus, que apresentou num modelo para descrever a população presente em um determinado ambiente, em função do tempo. Ele considerou N=N(t) como sendo um numero de indivíduos em certa população no instante t. Tomando as hipóteses que os nascimentos e as mortes naquele ambiente eram proporcionais à população presente e sendo a variação do tempo conhecida entre os dois períodos, conclui a seguinte equação para descrever a população presente em um determinado instante t.

N(t)=〖N0.e〗^rt

Com base nas informações acima, considerar uma colônia de vírus em um determinado ambiente. Um analista de laboratório ao pesquisar essa população, percebe que ela triplica a cada oito horas. Dessa forma, utilizando o modelo populacional de Thomas Malthus, quantos vírus haverá na colônia após 48 horas Em relação a ultima contagem.

〖N(t)=No.e〗^rt

3No=〖N0.e〗^r8

3=e^r8

ln(3)=8r.ln(e)

1,0986/8=r

r=0,1373

N(t)=N0 .e^(0,1373 .t)

N(48)=N0 .e^(0,1373 .(48) )

N(48)=728,07 .N0

4 1,7321

8 3

12 5,1962

16 9

20 15,5885

24 27

28 46,7654

32 81

36 140,2961

40 243

44 420,8883

48 728,07

Etapa 3

Passo 1

De acordo com o desafio proposto teremos que inovar uma nova embalagem de óleo de cozinha. Pois devemos encontrar o volume máximo da lata de óleo em um formato de cilindro circular reto inscrito em uma esfera de diâmetro D=1*, onde D é uma dezena de intervalo, em que o algarismo da unidade (*) é dado pelo maior algarismo dos algarismos presentes nos RA’s do grupo, portanto em nosso caso o maior algarismo de unidade é o número (9), então deve-se usar D=19. Lembrando que D=2.R.

Com base nestas informações e admitindo que 1 litro = 1dm3, utilizando a regra do produto para a derivação, calcular qual será a altura máxima da lata e qual é o volume de óleo que ela comportará. Nota-se que a altura da lata (H) é igual a soma de h + h, ou seja: H = 2h.

Empresa OTMIZATION especialista em otimização de espaço em matéria prima para sua empresa.

Com base no conceito de derivada calcular o volume da lata.

Cálculo:

Achando o diâmetro:

D = 19 R = 9,5 cm

H = 2.h

Vol = A.base x Altura

V = π . r2 . H V = π . r2 . 2h

R2 = r2 + h2 r2 = 90,25 - h2

V(h) = π (90,25 – h2) 2h V(h) = (90,25 π – πh2) 2h

V(h)=180,5 π h-2π h³

V^' (h)=180,5 π-6π h²

180,5π=6h²

√((180,5 π)/6π)

h=5,48

V”(h) = -12π h

V” (5,48) = - 206,6

Pto. Máx.

H = 10,96cm

Vmax.=2073,47 cm³ 2,07 dm³ ≅2 litros

r=7,76cm

Protótipo em escala real 1:1

Relatório:

Através do cálculo de otimização, chegamos a um resultado onde a maximização do produto a ser armazenado deve ser construído de forma de um cilindro circular reto e que possa ser inscrito em um diâmetro de 15,52cm utilizando a menor quantidade de matéria prima possível para o volume de 2,07 dm³ atendendo a necessidade da empresa “SOY OIL”.

PASSO 3

Com que velocidade o nível do óleo estará se elevando quando atingir 20cm de altura¿

V(h)=√3/50 h^3

V(h)=0,03464h^3

dv/dt=dv/dh.dh/dt

3=0,103923h² .dh/dt

dh/dt=28,8675/R²

dh/dt (20)=28,8675/〖20〗^2

dh/dt (20)=0,07216cm/s

Passo 4

Calcular o volume máximo de óleo que cabe no bico.

Qual é a velocidade com que o nível do óleo estará elevando quando atingir 45cm de altura¿

V(h)=√3/50 h^3

V(h)=0,03464h^3

dv/dt=dv/dh.dh/dt

3=0,103923h² .dh/dt

dh/dt=28,8675/R²

dh/dt (45)=28,8675/〖45〗^2

dh/dt (20)=0,07216cm/s