Atps equações diferenciais

Anhanhguera Educacional Ltda. – Taubaté Unidade 2

Engenharia de Produção - Equações Diferenciais

Diego Ambrósio RA nº: 9020463226

Professor Wagner

Esta ATPS é composta pela resolução dos exercícios da secção 11.11 (pág.448) do livro texto.

39- d2Q + 2dQ + 1Q = 0

dt2            dt     3

a) Q(0) = 0 / Q'(0) = 2

r2+2r+1/3 = 0  {∆=22-4.1.1/3 → ∆ = 2,67

r1 = -0,185  r2 = 1,815

Q(t)= C1e(-0,185)t+C2e(-1,815)t  onde C1 e C2 cte.       (Solução geral)

1ª Condição Inicial Q(0) = 0 → C1e0+C2e0 = 0 → C1=-C2

2ª Condição Inicial Q'(0) = 2 →Q' =  -0,185 C1e(-1,815)t-1,815 C2e(-1,815)t

-0,185 C1e0-1,815 C2e0 = 2 → -0,185(-C2)-1,815 C2 = 2 → C2 = -1,23 e C1 = 1,23

Q(t) = 1,23e(-0,185)t-1,23e(-1,815)t         (Solução particular)

b) 1ª condição inicial Q(0) = 2

C1e0+C2e0 = 2 → C1 = 2-C2

2ª condição Q'(0) = 0

-0,185 C1e0-1,815 C2e0 = 0

-0,185 C1- 1,815 C2 = 0 → -0,185 (2-C2) - 1,815 C2 = 0 → C2 = -0,23

C1=2-C2 = 2-(-0,23) → C1= 2,23

Q(t)= 2,23 e(-0,185)t + 0,23 e(-1,815)t      (Solução particular)

40- d2Q +   dQ + 1Q = 0

dt2           dt     4

a) Q(0)= 0 / Q'(0)= 2

r2+r+1/4=0 {∆=12-4.1.1/4 → ∆ = 0 e r= -1/2

Q(t)= (C1t +C2)e -t/2        onde C1 e C2 cte.       (Solução geral)

1º Condição inicial Q(0)= 0

(C1.0 + C2) e0=0 → C2= 0

2º Condição inicial Q'(0)= 2

Q(t)= C1 e-t/2 + C2 e-t/2 → Q'= C1[1 e-t/2 + t e-t/2 (-1/2)] + C2 e-t/2(-1/2)

C1[1 e-0/2 + 0 e-0/2 (-1/2)] + 0 e-0/2(-1/2)= 2    logo C1= 2

Q(t)= 2t e -t/2    (Solução particular)

b) 1º Condição inicial Q(0)= 2

Q(t)= (C1.0 +C2) e0 =2 → C2= 2

2º Condição inicial Q'(0)= 0

C1[1 e-0/2 + 0 e-0/2 (-1/2)] + 2 e-0/2(-1/2)= 0 → C1 -1 = 0 → C1 =1

Q(t)=(t+2)e-t/2    (Solução particular)

c) Vai de superamortecida para criticamente amortecida, ou seja, reduz a resistência no circuito elétrico.

41- 8 d2Q +  2 dQ + 1Q = 0

dt2              dt     4

a) Q(0)= 0 / Q'(0)=2

8r2 +2r +1/4=0 {∆=22-4.8.1/4 → ∆ = -4 →√∆ = √-4 = √4.√-1= √4i

r1=-1/8+i/8   e   r2= -1/8-i/8        α = -1/8 e β= 1/8

Q(t)= C1 e(-1/8 + i/8)t + C2 e(-1/8 - i/8)t                        onde C1 e C2 cte          (Solução geral)

1º Condição inicial Q(0)=0

C1 e0 + C2 e0= 0 →C1= -C2

2º Condição Inicial Q'(0)= 2

Q'= C1(-1/8+ i/8) e(-1/8+ i/8)t + C2(-1/8- i/8) e(-1/8- i/8)t

-C2(-1/8+ i/8) e0 + C2(-1/8- i/8) e0 = 2

C2= 8i  e C1= -8i

Q(t)= (C1+C2)eαt cos (βt) + i(C1-C2)eαt sen(βt)

C1 + C2 = 0  e  C1 - C2 = -16i

Q(t)= (0) e-t/8 cos t + i(-2i) e -t/8 sen t

Q(t) = 0 + (*) e-t/8 sen t

* i(-16i)= -16i2= -16(-1)= 16

Q(t)= 16 e-t/8 sen t/8    (Solução particular)

b) 1° Condição inicial Q(0)= 2

C1 e0 + C2 e0= 2 → C1 =2-C2

2º Condição Inicial Q'(0)= 0

(2-C2) (-1/8 + i/8)e0 + C2(-1/8 - i/8)e0= 0

-1/4 + 2i/8 + C2/8 - C2i/8 - C2/8 - C2i/8 = 0  → -1/4 +i/4 - C2i/4= 0 → i/4 - C2i/4= 1/4 → i-C2i = 1

C2=1+ i   e  Ci= 1- i          α= -1/8    e    β= 1/8

C1 +C2 = 2   e   C1-C2 = -2i

Q(t)= 2e-t/8 cos t/8 + i(-2i) e -t/8 sen t/8

*i(-2i) = -2i2 = -2(-1)= 2

Q(t)= 2e-t/8 cos t/8 + 2e -t/8 sen t/8   (Solução particular)

c) vai de superamortecida para subamortecida, ou seja, diminui consideravelmente a resistência no circuito elétrico.

42- Na situação em que (t) tende ao infinito, a carga (Q) tende a zero:            [pic 1]  Ao aplicar o infinito no expoente do denominador de uma fração, essa parcela matematicamente é nula, devido o valor denominador ser muito grande.

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