CÁLCULO III ATPS

ATIVIDADES PRÁTICAS SUPERVISIONADAS

Cálculo III

Engenharia Civil – 3º Semestre

Professor: xxx

São Paulo, 2015.

Sumário

Sumário2

Introdução3

  Cálculo III3

Etapa 13

Cálculo Integral – Passo 13

Desafios de Integração – Passo 2 e 34

                   Desafio A4

                   Desafio B5

                   Desafio C6

                   Desafio D8

Etapa 29

Técnicas de Integração – Passo 19

Exercícios com Integrais – Passo 2 e 310

                   Igualdade (I)10

                   Igualdade (II)11

Bibliografia13

Introdução

Cálculo III

Está parte do cálculo que envolve principalmente áreas e volumes também áreas sob curvas em gráficos, sendo este o cálculo integral. Iniciado por Newton e Leibniz em trabalhos separados, uma ferramenta muito eficaz do cálculo para o estudo das áreas e volumes.

No trabalho a seguir lidaremos com algumas situações em diversas áreas sendo determinada à exploração petrolífera, trabalhando com situações meramente ilustrativas apenas para visualização de um possível problema. Por outro lado, usaremos apenas soluções matemáticas para analise e resolução dos mesmos.

Para maior entendimento sobre o assunto de cálculo apresentaremos de maneira sucinta um pouco sobre cálculo integral e suas aplicações. Diante de tudo isso iremos também apresentar as diversas maneiras de cálculos utilizados, que são utilizados em diversos casos de alta dificuldade de solução.

Agora, iniciamos o trabalho de cálculo integral, que irá demonstrar alguns problemas que possivelmente poderemos encontrar em nossas carreiras profissionais.

ETAPA 1

Esse trabalho sobre cálculo irá nos mostrar as definições de Cálculo Diferencial e Integral que é o estudo da matemática, desenvolvido a partir da Álgebra e da Geometria, dedicado ao estudo de taxas de variação de grandezas (como a inclinação de uma reta) e a acumulação de quantidades (como a área debaixo de uma curva ou o volume de um sólido). Com movimento ou crescimento e forças variáveis produzindo aceleração.

O cálculo foi inicialmente uma ferramenta auxiliar, dentre várias áreas inclusive da matemática aplicada, foi com Isaac Newton (1643-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), o cálculo possui três "operações-base", ou seja, possui áreas iniciais como o cálculo de limites, o cálculo de derivadas de funções e integral de diferenciais.

A integral indefinida é também Conhecida por antiderivada, tendo como base função oposta a derivada. A integral definida estabelece limites de integração, ou seja, é um processo estabelecido entre dois intervalos bem definidos, daí o nome integral definida.

O cálculo integral foi criado inicialmente para resolver um problema aparentemente não relacionado, o problema da área. O professor de Isaac Newton em Cambridge, Isaac Bar

row, descobriu que esses dois problemas estão de fato estritamente relacionados, ao perceber que a derivação e a integração são processos inversos. Foram Leibniz e Newton que exploraram essa relação e a utilizaram para transformar o cálculo em um método matemático sistemático. Particularmente ambos viram que o Teorema Fundamental os capacitou a calcular áreas e integrais muito mais facilmente, sem que fosse necessário calculá-las como limites de soma (método descrito pelo matemático Riemann, pupilo de Gauss).

Após conhecermos um pouco mais dessa ótima ferramenta que mostrou se determinante para soluções, mostrando os meios e técnicas de cálculo para os vários problemas matemáticos das mais diversas áreas do conhecimento iremos dar prosseguimento aos passos solicitados a seguir.

Desafios de Integração – Passo 2 e 3

Iniciaremos agora com os 2 e 3 deste trabalho, iremos solucionar alguns desafios referentes a integrais, e depois associar números dados pelo desafio às respostas, com isso teremos uma sequência numérica.

Desafio A

Devemos encontrar a solução da integral indefinida , considerando as repostas abaixo[pic 2]

1. [pic 3]
2. [pic 4]
3. [pic 5]
4. [pic 6]
5. [pic 7]

Solucionando ,[pic 8]

[pic 9]

[pic 10]

[pic 11]

Então, a solução da integral é  , a resposta correta é a alternativa b, conforme descrito no Passo deve-se ser associado o número 3.[pic 12]

Desafio B

Temos um cálculo usado pela indústria do petróleo, supondo valores de perfuração por pés  perfurados e valor para tal perfuração, sendo  e , desta maneira, o custo total para perfuração de  pés está entre uma das soluções abaixo:[pic 13][pic 14][pic 15][pic 16]

1. [pic 17]
2. [pic 18]
3. [pic 19]
4. [pic 20]
5. [pic 21]

Considerando  como o integrando então: [pic 22]

[pic 23]

[pic 24]

[pic 25]

[pic 26]

Atribuímos o valor  na equação.[pic 27]

[pic 28]

Com isso temos como alternativa correta a alternativa a, então, iremos associar o número 0 à resposta.

Desafio C

No desafio realizaremos cálculos sobre o crescimento exponencial do consumo  de petróleo da última década do século XIX, onde  é o número de anos contados após o início de 1990. Utilizaremos um modelo aproximado fornecido na questão, . Com isso, iremos verificar a quantidade de petróleo consumida entre 1992 e 1994, considerando uma das soluções abaixo: [pic 29][pic 30][pic 31]