Calculo III - ATPS

ETAPA 1

INTEGRAL INDEFINIDA 1.1

Primitiva de uma função Uma função F(x) é chamada primitiva da função f(x) em um Intervalo I, se para todo.

x  I , temos:

F ' ( x)  f ( x)

É possível definir que as primitivas de uma função f(x) estão sempre definidas sobre algum intervalo. Quando os intervalos não são explícitos e refere-se a duas primitivas da mesma função f(x), entende-se que essas funções são primitivas de f(x) no mesmo intervalo. Exemplo 1: F(x) = x² é uma primitiva de f(x) = 2x,  2 xdx  2 x 2 Exemplo 2: F(x) = 3x³ é uma primitiva de f(x) = 9x²,  9 x 2 dx  3x 3 Porém a mesma função 2x pode ter outras primitivas, por exemplo, F(x) = x²+2..., com isso, é possível concluir que uma mesma função f(x) admite mais que uma primitiva. Para tanto se adota na primitiva de todas as funções +C, mostrando que pode haver alguma constante não considerada na expressão original. De acordo com esta notação o símbolo



é chamado de sinal de Integração.

O processo que permite achar a Integral Indefinida é chamado de Integração. O símbolo dx que aparece na função a ser Integrada serve para identificar a variável de Integração. Portanto, conclui-se que para calcularmos as primitivas, devemos seguir as instruções descritas abaixo: [ n x ] = x  n x1

n  x dx 

x n1 C n 1

Assim, demonstramos os cálculos dos exemplos apresentados anteriormente: Exemplo 1:

x 2  2 x   2 xdx 2 xdx

2x2  x2  C 2

Exemplo 2:

3x 3  9 x 2   9 x 2 dx 9 x 2 dx

9x3  3x 3  C 3

1.2 Definição de Integral Indefinida

Todas as primitivas de f(x) são da forma F(x) + C. Para isso, usa-se uma notação para a primitiva geral que parece com uma integral definida, mas sem os limites, ela é chamada de integral indefinida:

 f ( x)dx  F ( x)  C

É importante compreender a diferença entre:

 f ( x)dx

b

a

e

 f ( x)dx

A primeira é um número e a segunda é uma família de funções. A palavra “integração” é utilizada, frequentemente, para o processo de encontrar uma primitiva. Em geral, o contexto deixa claro qual o processo está em consideração.

1.3 Teorema da Função Constante

Se f é constante em um intervalo, sabe-se que f’(x)=0 nesse intervalo> Se f é contínua em [a,b] e diferenciável em (a,b). Se f’(x)=0cm (a,b), então f é constante em [a,b]. Quando tem-se f’(c)=0, significa que f(x1)-f(x2)=0, logo, f(x1)=f(x2) para a≤ x1< x2≤b, de modo que a função é constante.

1.4 Função polinomial

Função polinomial é quando existe mais que um termo a ser integrado, ou seja, que a função a ser integrada possui alguma operação matemática, abaixo é apresentado um exemplo de uma função polinomial, no qual existe uma soma a ser integrada: Exemplo:

3  x  2 x  3dx 

x4  x 2  3x  C 4

1.5 Expoente da função polinomial diferente de -1

O expoente na função polinomial deve ser diferente de -1, pois se fosse igual a 1 o

x0 resultado seria , isso pode ser verificado através da diferenciação, conforme apresentado 0

abaixo:

d x n1 (n  1) x n ( )  xn dx n  1 n 1

Na notação de integral indefinida, mostra-se que:

n  x dx 

x n1  C , n  1 n 1 x 11 x0   11 0

Pois, se calcular o expoente n=-1, teria:

1  x dx 

1.6 Propriedades da Integral Indefinida:

Somas e Múltiplos Constantes As integrais indefinidas possuem algumas propriedades, segue abaixo as fundamentais: 1ª Uma primitiva da soma (ou diferença) de duas funções é a soma (ou diferença) de suas primitivas:

 [ f ( x)  g ( x)]dx   f ( x)dx   g ( x)dx

Exemplo:

2 2  x  2dx   x dx   2dx 

x  2x  C 3

2ª Uma primitiva de uma constante vezes uma função é a constante vezes uma primitiva da função:

 cf ( x)dx  c f ( x)dx

Exemplo 2:

3 3  4 x dx  4 x dx 

4x4  x4  C 4

1.7 Integrais imediatas

A seguir são apresentadas algumas integrais simples e imediatas:

 dx  x  c

n  x dx 

x n1  C ,  1 n 1



dx  ln( x)  C x

ax  C , a  0, a  1 ln a

x

x