Cálculo Numérico

Tabela:

x 1 2 4 5 7

f(x) 52 5 -5 -40 10

Obtendo o polinômio de 4a ordem através da resolução do sistema linear obtido a partir das condições de interpolação:

p4(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + a4x4

p4(1) = f(1)

a0 + a1 + a2 + a3 + a4 = 52

p4(2) = f(2)

a0 + 2a1 + 4a2 + 8a3 + 16a4 = 5

p4(4) = f(4)

a0 + 4a1 + 16a2 + 64a3 + 256a4 = -5

p4(5) = f(5)

a0 + 5a1 + 25a2 + 125a3 + 625a4 = -40

p4(7) = f(7)

a0 + 7a1 + 49a2 + 343a3 + 2401a4 = 10

Sistema de 5 variáveis:

a0 + a1 + a2 + a3 + a4 = 52

a0 + 2a1 + 4a2 + 8a3 + 16a4 = 5

a0 + 4a1 + 16a2 + 64a3 + 256a4 = -5

a0 + 5a1 + 25a2 + 125a3 + 625a4 = -40

a0 + 7a1 + 49a2 + 343a3 + 2401a4 = 10

a0 = 52 – a1 – a2 – a3 – a4

Sistema de 4 variáveis:

52 – a1 – a2 – a3 – a4 + 2a1 + 4a2 + 8a3 + 16a4 = 5

52 – a1 – a2 – a3 – a4 + 4a1 + 16a2 + 64a3 + 256a4 = -5

52 – a1 – a2 – a3 – a4 + 5a1 + 25a2 + 125a3 + 625a4 = -40

52 – a1 – a2 – a3 – a4 + 7a1 + 49a2 + 343a3 + 2401a4 = 10

a1 + 3a2 + 7a3 + 15a4 = -47

3a1 + 15a2 + 63a3 + 255a4 = -57

4a1 + 24a2 + 124a3 + 624a4 = -92

6a1 + 48a2 + 342a3 + 2400a4 = -42

a1 + 3a2 + 7a3 + 15a4 = -47

a1 + 5a2 + 21a3 + 85a4 = -19

a1 + 6a2 + 31a3 + 156a4 = -23

a1 + 8a2 + 57a3 + 400a4 = -7

a1 = -47 – 3a2 – 7a3 – 15a4

Sistema de 3 variáveis:

-47 – 3a2 – 7a3 – 15a4 + 5a2 + 21a3 + 85a4 = -19

-47 – 3a2 – 7a3 – 15a4 + 6a2 + 31a3 + 156a4 = -23

-47 – 3a2 – 7a3 – 15a4 + 8a2 + 57a3 + 400a4 = -7

2a2 + 14a3 + 70a4 = 28

3a2 + 24a3 + 141a4 = 24

5a2 + 50a3 + 385a4 = 40

a2 + 7a3 + 35a4 = 14

a2 + 8a3 + 47a4 = 8

a2 + 10a3 + 77a4 = 8

a2 = 14 – 7a3 – 35a4

Sistema de 2 variáveis:

14 – 7a3 – 35a4 + 8a3 + 47a4 = 8

14 – 7a3 – 35a4 + 10a3 + 77a4 = 8

a3 + 12a4 = -6

3a3 + 42a4 = -6

a3 + 12a4 = -6

a3 + 14a4 = -2

2a4 = 4

a4 = 2

a3 = -30

a2 = 14 + 210 – 70

a2 = 154

a1 = -47 – 462 + 210 – 30

a1 = -329

a0 = 52 + 329 – 154 + 30 – 2

a0 = 255

p4(x) = 255 – 329x + 154x2 - 30x3 + 2x4

p4(3) = 255 – 987 + 1386 – 810 + 162

p4(3) = 6

Polinômio de Lagrange de 4a ordem:

p4(x) = f(x0) L0(x) + f(x1) L1(x) + f(x2) L2(x) + f(x3) L3(x) + f(x4) L4(x)

L0(x) = (x - x1) (x - x2) (x - x3) (x – x4) / (x0 - x1) (x0 - x2) (x0 - x3) (x0 – x4)

L0(x) = (x - 2) (x - 4) (x - 5) (x – 7) / (1 - 2) (1 - 4) (1 - 5) (1 – 7)

L0(x) = (x2 – 6x + 8) (x2 – 12x + 35) / (-1) (-3) (-4) (-6)

L0(x) = (x4 – 12x3 + 35x2 – 6x3 + 72x2 – 210x + 8x2 – 96x + 280) / 72

L0(x) = (x4 – 18x3 + 115x2 – 306x + 280) / 72

L1(x) = (x - x0) (x - x2) (x - x3) (x – x4) / (x1 - x0) (x1 - x2) (x1 - x3) (x1 – x4)

L1(x) = (x - 1) (x - 4) (x - 5) (x – 7) / (2 - 1) (2 - 4) (2 - 5) (2 – 7)

L1(x) = (x2 – 5x + 4) (x2 – 12x + 35) / (1) (-2) (-3) (-5)

L1(x) = (x4 – 12x3 + 35x2 – 5x3 + 60x2 – 175x + 4x2 – 48x + 140) / -30

L1(x) = -(x4 – 17x3 + 99x2 – 223x + 140) / 30

L2(x) = (x - x0) (x - x1) (x - x3) (x – x4) / (x2 - x0) (x2 - x1) (x2 - x3) (x2 – x4)

L2(x) = (x - 1) (x - 2) (x - 5) (x – 7) / (4 - 1) (4 - 2) (4 - 5) (4 – 7)

L2(x) = (x2 – 3x + 2) (x2 – 12x + 35) / (3) (2) (-1) (-3)

L2(x) = (x4 – 12x3 + 35x2 – 3x3 + 36x2 – 105x + 2x2 – 24x + 70) / 18

L2(x) = (x4 – 15x3 + 73x2 – 129x + 70) / 18

L3(x) = (x - x0) (x - x1) (x - x2) (x – x4) / (x3 - x0) (x3 - x1) (x3 - x2) (x3 – x4)

L3(x) = (x - 1) (x - 2) (x - 4) (x – 7) / (5 - 1) (5 - 2) (5 - 4) (5 – 7)

L3(x) = (x2 – 3x + 2) (x2 – 11x + 28) / (4) (3) (1) (-2)

L3(x) = (x4 – 11x3 + 28x2 – 3x3 + 33x2