Calculo de um potencial elétrico

[pic 1]                                                                                      [pic 2]

Universidade Estadual de Campinas

Faculdade de Ciências Aplicadas

Engenharia de Produção

PROJETO COMPUTACIONAL

CÁLCULO DO POTENCIAL ELÉTRICO DE UM CONDUTOR CARREGADO

Professor Dr. Marcelo Maialle

LE 404 - Física Geral 3

Isabella C. S. Dibbern - 170049

Júlia Baccarin Salles - 170954

LIMEIRA

2017

OBJETIVO

        O objetivo desse projeto computacional é determinar e visualizar o potencial elétrico em função da posição, em uma região do espaço que contém condutores mantidos em potenciais fixos.

INTRODUÇÃO TEÓRICA

O potencial elétrico é uma grandeza escalar que determina a capacidade de um corpo eletrizado realizar trabalho, isto é, energia potencial por unidade de carga (1). O potencial de a até b (Vab) também pode ser definido como sendo igual ao trabalho realizado contra a força elétrica para deslocar lentamente uma carga unitária de b até a. A unidade SI de potencial elétrico é o volt [V].

[pic 3]        ,                                                      (1)

sendo V o potencial em volt [V], U a energia potencial em joule [J] e q a carga em coulomb [C].

Outro conceito fundamental da eletrostática é o de campo elétrico, que se constitui uma grandeza vetorial. Define-se campo elétrico em um ponto  como a força elétrica que atua em uma carga, nesse ponto, dividida pela própria carga (2). Usando unidades SI, em que força é dada em newton [N] e a carga em coulomb [C], a unidade de campo elétrico é newton por coulomb [N/C], conforme a equação a seguir:

[pic 4]        .                 (2)

Nota-se que o potencial é um relevo em 3D, enquanto o campo se refere à sua declividade (variação).

        A energia potencial elétrica, que está ligada à atuação de um campo elétrico, é denotada pela equação (3), útil na demonstração de uma relação local da eletrostática.

      [pic 5]        .                (3)

        Em um intervalo infinitesimal e dividindo toda a expressão (3) por uma carga q, tem-se que o campo é igual a menos o gradiente do potencial (4).

[pic 6],

[pic 7],

        [pic 8].                (4)

        Além disso, tem-se a relação da eletrostática definida pela equação de Poisson para o potencial (5), em que ⍴ é a densidade volumétrica de cargas e ɛ0 é a constante de permissividade do vácuo:

      [pic 9].                        (5)

Logo, em uma região onde não há cargas (⍴ = 0), define-se a equação de Laplace dada por (6)

                                                  ▽2V = 0.                                                        (6)

Quando tal condição for satisfeita, pode-se dizer o potencial em um ponto é igual ao valor médio do potencial dos potenciais nos pontos vizinhos. Em casos em que não há densidade volumétrica de carga no interior da região, pode-se calcular o potencial em qualquer ponto como a média dos potenciais vizinhos.        

METODOLOGIA

         O projeto computacional para o cálculo do potencial elétrico de um condutor carregado foi elaborado como uma matriz de tamanho 121 por 121 - que representa computacionalmente a grade para futura discretização - no qual possui duas placas com cargas, como na figura 1, onde o valor do potencial em cada placa foi definido com um valor igual a 10 Volts.

[pic 10]

Figura 1 - Disposição dos condutores no espaço

        Os demais pontos com potencial foram determinados através da média:

                                                .                            (7)[pic 11]

        Em seguida, foi calculado os campos em x e em y, Ex e Ey respectivamente. Para se encontrar o campo elétrico, utilizou-se as seguintes equações:

                                                                     ,                                              (8)[pic 12]

                                  e .                             (9)[pic 13][pic 14]

A precisão com que os valores convergem pode ser dada pela variação fracionária do potencial

                                                              ,                                               (10)[pic 15]

sendo possível calcular os componentes do campo elétrico e os valores do potencial em matrizes, plotou-se os gráficos do potencial elétrico usando os comandos surf e shading plat e o comando quiver para plotar o campo elétrico.

Condições de contorno

O tamanho em cada barra foi definido como sendo o último dígito do RA de cada integrante. No caso em que o último dígito fosse 0, o valor utilizado deveria ser 1. Sendo assim a barra vertical, referente ao RA 170049, foi utilizada no projeto com tamanho 9u, e a barra horizontal, referente ao RA 170954, foi calculada com o tamanho de 4u.

O projeto foi realizado considerando, como condição de contorno, as bordas da grade iguais a zero e definindo um valor arbitrário para os pontos “vazios” (neste caso, foi utilizado potencial inicial equivalente a zero para esses pontos, pois foi verificado que era o valor que apresentava o menor número de iterações, deixando assim o programa mais rápido).

Desenho da grade em escala e identificação dos pontos

Foi definida uma escala para que a grade fosse desenhada, sendo está de tamanho 121x121. Além disso, foram identificadas as posições referentes a localização das duas barras e também das áreas “vazias” (sem condutores). Então, no software MATLAB, foram inseridas as informações que seguem: